1、第二讲不等式选讲1 含有绝对值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)a.(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值的几何意义求解2 含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.3 柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)若ai，bi(iN*)为实数，则(a)(b)(aibi)2，当且仅当(当某bj0时，认为aj0，j1,2，n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，则|，当且仅当这两个向量共线时等号成立4
2、 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等1 (2013重庆)若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_答案(，8解析|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|a无解，只需a8.2 (2013江西)在实数范围内，不等式|x2|1|1的解集为_答案0,4解析由|x2|1|1得1|x2|11，解得0x4.不等式的解集为0,43 (2013陕西)已知a，b，m，n均为正数，且ab1，mn2，则(ambn)(bman)的最小值为_答案2解析由柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)
3、2，当且仅当adbc时“”成立，得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.4 (2012山东)若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.答案2解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.5 (2011湖南)设x，yR，且xy0，则的最小值为_答案9解析54x2y252 9，当且仅当x2y2时“”成立题型一含绝对值的不等式的解法例1(2013课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x时去绝对值，利用函数最值
4、求a的范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x1，则0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)2的解集是R，求m的取值范围解(1)由题设知|x1|x2|5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：或或解得函数f(x)的定义域为(，2)(3，)(2)不等式f(x)2即|x1|x2|m2，xR时，恒有|x1|x2|(x1)(x2)|3，不等式|x1|x2|m2解集是R，m23，m的取值范围是(，1题型二不等式的证明例2(2012福建)已知函数f
5、(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.审题破题(1)从解不等式f(x2)0出发，将解集和1,1对照求m；(2)利用柯西不等式证明(1)解因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.反思归纳不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不
6、等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的变式训练2已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)21时，由2x4，得1x2.M(2,2)(2)证明a，bM，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.反思归纳不等式f(a)g(x)恒成立时，要看是对哪
7、一个变量恒成立，如果对于aR恒成立，则f(a)的最小值大于等于g(x)，再解关于x的不等式求x的取值范围；如果对于xR不等式恒成立，则g(x)的最大值小于等于f(a)，再解关于a的不等式求a的取值范围变式训练3已知函数f(x)log2(|x1|x5|a)(1)当a2时，求函数f(x)的最小值；(2)当函数f(x)的定义域为R时，求实数a的取值范围解(1)函数的定义域满足：|x1|x5|a0，即|x1|x5|a2.设g(x)|x1|x5|，则g(x)|x1|x5|g(x)min4a2，f(x)minlog2(42)1.(2)由(1)知，g(x)|x1|x5|的最小值为4，|x1|x5|a0，a0
8、)(1)当a1时，解不等式f(x)8；(2)若f(x)6恒成立，求正实数a的取值范围规范解答解(1)f(x)|x|2|x1|当x0时，由23x8，得2x1时，由3x28，解得10的解集为_答案解析原不等式等价于|2x1|2|x1|(2x1)24(x1)2x.2 (2012湖北改编)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则_.答案解析通过等式找出abc与xyz的关系由题意可得x2y2z22ax2by2cz，与a2b2c210相加可得(xa)2(yb)2(zc)210，所以不妨令，则xyz2(abc)，即.3 若a，b，c(0，)，且abc1，则的
9、最大值为_答案解析()2(111)2(121212)(abc)3.当且仅当abc时，等号成立()23.故的最大值为.4 不等式1的实数解为_答案.解析1，|x1|x2|.x22x1x24x4，2x30.x且x2.5 若不等式x|x1|a有解，则实数a的取值范围是_答案1，)解析设f(x)x|x1|，则f(x)f(x)的最小值为1.所以当a1时，f(x)a有解6 对于任意的实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|M|a|恒成立，记实数M的最大值是m，则m的值为_答案2解析不等式|ab|ab|M|a|恒成立，即M对于任意的实数a(a0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值因为|ab|ab|
10、(ab)(ab)|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0时等号成立，即|a|b|时，2成立，也就是的最小值是2.专题限时规范训练一、填空题1 不等式|x3|x2|3的解集为_答案x|x1解析原不等式可化为：或或x或1x0，y0，M，N，则M、N的大小关系为_答案MM.3 对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，则|x2y1|的最大值为_答案5解析|x1|1，1x11，0x2.又|y2|1，1y21，1y3，从而62y2.由同向不等式的可加性可得6x2y0，5x2y11，|x2y1|的最大值为5.4 若关于x的不等式|a|x1|x2|存在实数解，则实数a的取值范围是_答案(，33，)解析f(x)
11、|x1|x2|f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，需满足|a|3，即a3或a3.二、解答题5 设不等式|2x1|1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1，所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b0，故ab1ab.6 若不等式|a2|1对于一切非零实数x均成立，求实数a的取值范围解2，|a2|12，1a3.7 (2012江苏)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.证明因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|.
12、8 已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|，设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|所以当x5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，5方法二(1)同方法一(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)由|x2|x3|(x2)(x3)|5(当且仅当3x2时等号成立)，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m，即g(x)m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(，59 已知函数f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式f(x)6的解集；(2)若关于x的不等式f(x)|a1|的解集非空，求实数a的取值范围解(1)原不等式等价于或或解之得x2或x或1x4，解此不等式得a5.10设a，b，c为正实数，求证：abc2.证明因为a，b，c是正实数，由算术几何平均不等式可得3 ，即.所以abcabc.而abc2 2，当且仅当abc且abc时，取等号所以abc2.