1、江苏省南京市2013届高三9月学情调研试题 数 学 2012.09注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答卷纸的密封线内试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答卷纸一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答卷纸相应位置上1已知集合Ax|x23x4，xR，则AZ中元素的个数为 2已知abi(a，bR，i为虚数单位)，则ab 3为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，
2、12，18若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 4有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 5已知非零向量a，b满足|a|ab|1，a与b夹角为120，则向量b的模为 开始k1S0S20kk2SSkYN输出k结束(第8题)6在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y22x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为 7已知等比数列an的公比q，Sn为其前n项和，则 8右图是一个算法的流程图，最后输出的k 9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，A60，c，则
3、ABC的面积为 10在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线xy10相切，则圆C的半径为 11已知函数f(x)是R上的增函数，则实数k的取值范围是 12已知，为平面，m，n为直线，下列命题：若mn，n，则m； 若m，m，则；若n，m， m，则mn； 若，m，n，则mn其中是真命题的有 (填写所有正确命题的序号)13已知直线xa(0a)与函数f(x)sinx和函数g(x)cosx的图象分别交于M，N两点，若MN，则线段MN的中点纵坐标为 14已知函数f(x)2x2m的图象与函数g(x)ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围
4、为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知平面向量a(1，2sin)，b(5cos，3)（1）若ab，求sin2的值；（2）若ab，求tan()的值ABCDA1B1C1(第16题)16（本小题满分14分）如图，已知斜三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D为BC的中点（1）若平面ABC平面BCC1B1，求证：ADDC1；（2）求证：A1B/平面ADC117（本小题满分14分）经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为Ekv3t，其中v为鲑鱼在静水中的速度，t为行进的时间(单位：h)，k为大
5、于零的常数如果水流的速度为3 km/h，鲑鱼在河中逆流行进100 km（1）将鲑鱼消耗的能量E表示为v的函数；（2）v为何值时，鲑鱼消耗的能量最少?18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，右准线为l：x4M为椭圆上不同于A，B的一点，直线AM与直线l交于点P（1）求椭圆C的方程；（2）若，判断点是否在以PM为直径的圆上，并说明理由；ABPMNxyO(第18题)（3）连结PB并延长交椭圆C于点N，若直线MN垂直于x轴，求点M的坐标19（本小题满分16分）设t0，已知函数f (x)x2(xt)的图象与x轴交于A、B两点（1）求函数f
6、 (x)的单调区间；（2）设函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率为k，当x0(0，1时，k恒成立，求t的最大值；（3）有一条平行于x轴的直线l恰好与函数yf(x)的图象有两个不同的交点C，D，若四边形ABCD为菱形，求t的值20（本小题满分16分）已知数列an的首项a1a，Sn是数列an的前n项和，且满足：S3n2anS，an0，n2，nN*（1）若数列an是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列an是递增数列2013届高三学情调研卷 数学附加题 2012.09注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓
7、名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲ABDCPO(第21A题)如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，ADCP，垂足为D求证：DAPBAPB选修42：矩阵与变换设a0，b0，若矩阵A 把圆C：x2y21变换为椭圆E：1（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A1C选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：4cos被直线l：sin()a截
8、得的弦长为2，求实数a的值D选修45：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a24b24来源:Z+xx+k.Com【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22如图，PA平面ABCD，AD/BC，ABC90，ABBCPA1，AD3，E是PB的中点PABCDE(第22题)（1）求证：AE平面PBC；（2）求二面角BPCD的余弦值23在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1， 2，2，2，3，3现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和 （1）求概率P(X7)；来源:学科网 （2）求X的概率分布列
9、，并求其数学期望E(X)2013届高三学情调研卷 数学参考答案及评分标准 2012.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 14 26 34 4 516 75 811 9 1011，1)
10、12 13 14(，ln2)二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）解：（1）因为ab，所以132sin5cos0， 3分即5sin230，所以sin2 6分（2）因为ab，所以15cos2sin30 8分所以tan 10分所以tan() 14分16（本小题满分14分）证明：（1）因为ABAC，D为BC的中点，所以ADBC 因为平面ABC平面BCC1B1，平面ABC平面BCC1B1BC，AD平面ABC，所以AD平面BCC1B1 5分因为DC1平面BCC1B1，所以ADDC1 7分（2）(证法一)连结A1C，交AC1于点O，连结OD，
11、 则O为A1C的中点因为D为BC的中点，所以OD/A1B 11分因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1， 所以A1B/平面ADC1 14分(证法二)取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B则D1C1BD所以四边形BDC1D1是平行四边形所以D1B/ C1D因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，所以D1B/平面ADC1同理可证A1D1/平面ADC1因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1D1BD1，所以平面A1BD1/平面ADC1 11分因为A1B平面A1BD1，ABCDA1B1C1（第16题图）O所以A1B/平面ADC1 14分ABCDA1B1C1（第16题
12、图）D117（本小题满分14分）解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t 2分所以Ekv3tkv3(v(3，) 6分（2）E100k 100k 10分令E0，解得v4.5或v0(舍去)因为k0，v3，所以当v(3，4.5)时，E0，当v(4.5，)时，E0故E在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，)上单调递增13分所以，当v4.5时，E取得最小值即v4.5km/h时，鲑鱼消耗的能量最小 14分18（本小题满分16分）解：（1）由解得所以b23 所以椭圆方程为1 4分（2）因为，所以xM1，代入椭圆得yM，即M(1，)， 所以直线AM为：y(x2)，得P(4，3)， 所以(1，)，(
13、2，3) 8分因为0，所以点B不在以PM为直径的圆上 10分（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，y1)直线AM的方程为：y(x2)，所以yp，直线BN的方程为：y(x2)，所以yp， 12分所以因为y10，所以解得x11所以点M的坐标为(1，) 16分19（本小题满分16分）解：（1）f (x)3x22txx(3x2t)0，因为t0，所以当x或x0时，f (x)0，所以(，0)和(，)为函数f (x)的单调增区间；当0x时，f (x)0，所以(0，)为函数f (x)的单调减区间 4分（2）因为k3x022tx0恒成立，所以2t3x0恒成立， 6分因为x0（0，
14、1，所以3x02，即3x0，当且仅当x0时取等号所以2t，即t的最大值为 8分（3）由（1）可得，函数f (x)在x0处取得极大值0，在x处取得极小值因为平行于x轴的直线l恰好与函数yf (x)的图象有两个不同的交点，所以直线l的方程为y 10分令f (x)，所以x2(xt)，解得x或x所以C（，），D（，） 12分因为A（0，0），B（t，0）易知四边形ABCD为平行四边形AD，且ADABt，所以t，解得：t 16分20（本小题满分16分）解：（1）在S3n2anS中分别令n2，n3，及a1a得(aa2)212a2a2，(aa2a3)227a3(aa2)2，因为an0，所以a2122a，a3
15、32a 2分因为数列an是等差数列，所以a1a32a2，即2(122a)a32a，解得a34分经检验a3时，an3n，Sn，Sn1满足S3n2anS（2）由S3n2anS，得SS3n2an，即(SnSn1)(SnSn1)3n2an，即(SnSn1)an3n2an，因为an0，所以SnSn13n2，(n2)， 6分所以Sn1Sn3 (n1)2，得an1an6n3，(n2) 8分所以an2an16n9，得an2an6，(n2)即数列a2，a4，a6，及数列a3，a5，a7，都是公差为6的等差数列， 10分因为a2122a，a332a所以an 12分要使数列an是递增数列，须有a1a2，且当n为大于
16、或等于3的奇数时，anan1，且当n为偶数时，anan1，即a122a，3n2a63(n1)2a6(n为大于或等于3的奇数)，3n2a63(n1)2a6(n为偶数)，解得a所以M(，)，当aM时，数列an是递增数列 16分2013届高三学情调研卷来源:学&科&网Z&X&X&K 数学附加题参考答案及评分标准 2012.09说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解
17、答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷纸指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲证明：因为CP与圆O 相切，所以DPAPBA 2分 因为AB为圆O直径，所以APB90， 所以BAP90PBA 6分ABDCPO(第21A题) 因为ADCP，所以DAP90DPA， 所以DAPBAP 10分B选修42：矩阵与变换解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2y21上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P（x，y）
18、则 ，所以 2分因为点P（x，y）在椭圆E：1上，所以1，这个方程即为圆C方程 6分所以，因为a0，b0，所以a2，b 8分（2）由（1）得A，所以A1 10分C选修44：坐标系与参数方程解：因为圆C的直角坐标方程为(x2) 2y24， 直线l的直角坐标方程为xy2a0 4分 所以圆心C到直线l的距离d|1a| 6分 因为圆C被直线l截得的弦长为2，所以r2d23即4(1a)23解得a0，或a2 10分D选修45：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a24b24证明：因为a，b是正数，所以a24b24ab 2分所以a24b24ab24即a24b24 10分22（1）根据题意，建立如图所示的空间直
19、角坐标系，PABCDExyz则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(，0，)， (，0，)，(0，1，0)，(1，0，1)因为0，0，所以，所以AEBC，AEBP因为BC，BP平面PBC，且BCBPB， 所以AE平面PBC 4分（2）设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0因为(1，2，0)，(0，3，1)，所以x2y0，3yz0令x2，则y1，z3所以n(2，1，3)是平面PCD的一个法向量 8分因为AE平面PBC，所以是平面PBC的法向量所以cos由此可知，与n的夹角的余弦值为根据图形可知，二面角BPCD的余弦值为 10分23解（1）P(X7)，P(X8)所以P（X7）. 4分（2）P(X6)，P(X5)，P(X4)所以随机变量X的概率分布列为X4567来源:学。科。网8P来源:学科网ZXXK 8分所以E(X)456786 10分
