1、课时素养评价 三十平面向量的坐标及其运算(15分钟30分)1.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-3,-3),则向量=()A.(3,2)B.(-3,-2)C.(-1,-2)D.(1,2)【解析】选B.因为A(0,1),B(3,2),所以=(3,1),所以=(-)=(-6,-4)=(-3,-2).【补偿训练】在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则=()A.(2,4)B.(3,5)C.(1,1)D.(-1,-1)【解析】选C.=-=-=-(-)=(1,1).2.已知=(1,3),且点A(-2,5),则点B的坐标为()A.(1,8)B.(-1,8)C.(3,
2、2)D.(-3,2)【解析】选B.设B的坐标为(x,y),=(x,y)-(-2,5)=(x+2,y-5)=(1,3),所以解得所以点B的坐标为(-1,8).3.在ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边的中线AD的长是_.【解析】由题意知:BC中点为D,所以=,所以=.答案:4.与向量a=(1,2)平行,且模等于的向量为_.【解析】因为所求向量与向量a=(1,2)平行,所以可设所求向量为x(1,2),又因为其模为,所以x2+(2x)2=5,解得x=1.因此所求向量为(1,2)或(-1,-2).答案:(1,2)或(-1,-2)5.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=(3
3、,1),=(2,-1),=(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系;(2)若=-3,求点C的坐标.【解析】由题意知,=-=(-1,-2),=-=(a-3,b-1).(1)因为A,B,C三点共线,所以,所以-(b-1)-(-2)(a-3)=0,所以b=2a-5.(2)因为=-3,所以(a-3,b-1)=-3(-1,-2)=(3,6),所以解得所以点C的坐标为(6,7).(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知平面向量a=(1,-3),b=(-2,0),则=()A.3B.3C.4D.5【解析】选A.因为a=(1,-3),b=(-2,0),所以a+2b=(-3,-3
4、),因此=3.2.(2020福州高一检查)已知向量与单位向量e同向,且A,B,则e的坐标为()A.B.C.D.【解析】选B.设e=,因为是单位向量,所以x2+y2=1, 由A,B得=,因为向量与单位向量e同向,所以-6y-2x=0 ,联立解方程组得或所以e=或e=,又因为,e方向相同,e=舍去,所以e=.3.已知向量a=,b=,且ab,若x,y为正数,则+的最小值是()A.B.C.16D.8【解析】选D.因为ab,所以3=-2x,即2x+3y=3,那么+=8,等号成立的条件为=,解得x=,y=,所以原式的最小值为8.4.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C为坐标平面内第
5、一象限内一点,AOC=,且|OC|=2,若=+,则+等于()A.2B.C.2D.4【解析】选A.因为|OC|=2,AOC=,所以C(,),又=+,所以(,)=(1,0)+(0,1)=(,),所以=,+=2.【光速解题】在平面直角坐标系中作出三向量所在位置,根据等腰直角三角形中的长度关系易得所求两字母的值相等,均为.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2),若a,b共线,则y的值可以是()A.-2B.-C.D.2【解析】选BC.因为a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,所以2(y2
6、-2)-(-1)x2=0,所以x2=4-2y20,整理得y22,解得-y.所以y的取值范围是-,.6.已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=1e1+2e2,则可使120成立的a可能是()A.(1,0)B.(0,1)C.(-1,0)D.(0,-1)【解析】选AC.a=1e1+2e2=(-1+22,21+2),若a=(1,0),则解得1=-,2=,120,不满足题意;因为向量(-1,0)与向量(1,0)共线,所以向量(-1,0)也满足题意.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知M(3,-2),N(-5,-1),=,则|=_,点P的坐标为_.【解析】设P(x,y),=(x-3,
7、y+2),=(-8,1),所以|=;所以=(-8,1)=,所以所以答案:【补偿训练】已知M=a|a=(1,2)+(3,4),R,N=a|a=(-2,-2)+(4,5),R,则MN=_.【解析】由题意得(1,2)+(3,4)=(-2,-2)+(4,5),即(1+3,2+4)=(-2+4,-2+5),所以解得=-1,=0,所以MN=(-2,-2).答案:(-2,-2)8.已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为_.【解析】如图所示建立平面直角坐标系,则A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).所以+3=(2,-y)+3(
8、1,b-y)=(5,3b-4y),所以=,所以当y=b时,取得最小值5.答案:5四、解答题(每小题10分,共20分)9.以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边AOB,求点B的坐标及向量的坐标.【解析】因为AOB为等边三角形,且A(2,-2),所以|=|=|=4.因为在0360范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为330,当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为30,所以=(2,2).所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为270,所以=(0,-4),所以=-=(0,-4)-(2,-2)=(-2,-2).综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标
9、为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2).10.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下列问题:(1)若(a+kc)(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)(a+b)且|d-c|=1,求d.【解析】(1)因为(a+kc)(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),所以2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,所以k=-.(2)因为d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)(a+b)且|d-c|=1,所以解得或所以d=或.1.在四边形ABCD中,=(1,0),+=,则四边形AB
10、CD的面积是()A.B.C.D.【解析】选D.为在方向上的单位向量,记为e1=,类似地,设=e2=,=e3=,所以e1+e2=e3,可知四边形BNGM为菱形,且|=|=|,所以MBN=120,从而四边形ABCD也为菱形,|=|=1,所以S菱形ABCD=|sin ABC=.2.在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),(1)若+=0,求的坐标.(2)若=m+n(m,nR),且点P在函数y=x+1的图像上,求m-n.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),因为+=0,又+=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).所以解得所以点
11、P的坐标为(2,2),故=(2,2).(2)设点P的坐标为(x0,y0),因为A(1,1),B(2,3),C(3,2),所以=(2,3)-(1,1)=(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1),因为=m+n,所以(x0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得m-n=y0-x0,又因为点P在函数y=x+1的图像上,所以y0-x0=1,所以m-n=1.【补偿训练】如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,求的坐标.【解析】由题得A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,ABP=2.设P(x,y),则x=2-1cos=2-sin 2,y=1+1sin=1-cos 2,所以的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).