1、1.2.2 函数的概念(2)【学习目标】1会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示2会求抽象函数的定义域练习 1：将x|x1 或 1x2用区间表示为_ _(，1)(用区间表示)1,2)练习 2：函数 f(x)3x1|x|1 的定义域为_13，1(1，)练习 3：一次函数 yaxb(a0)的定义域为_，值域为_二次函数 y ax2 bx c(a0)的定义域为_当 a0 时，值域为_；当 a0 时，值域为_R练习 4：若函数 f(x)2x1，x0,1,2,3，则 f(x)的值域为_1,3,5,7R练习 5:若函数 f(x)2x1(xR)，则 f(x)的值域为_RRyy4acb24a
2、yy4acb24a练习 6：若函数 f(x)x2 1(x R)，则 f(x)的值域为_1，)(，0)练习 7：若函数 f(x)2x，则 f(x)的值域为_(0，)【问题探究】若 yf(x)的定义域为2,4，则函数 f(x1)的定义域为_；若 yf(x)的值域为2,4，则函数 f(x1)的值域为_2,41,5题型 1 求抽象函数的定义域【例 1】(1)若函数 f(x)的定义域为2,3，则 f(x1)的定义域为_；(2)若函数 f(x 1)的定义域为 2,3，则 f(x)的定义域为_；(3)若函数 f(x1)的定义域为2,3，则 f(2x1)的定义域为_解析：(1)若函数 f(x)的定义域为2,3
3、，则 f(x1)有 2x13，解得 3x4，即 f(x1)的定义域为3,4 (2)若函数 f(x1)的定义域为2,3，即 2x3，有 1x12，则 f(x)的定义域为1,2 (3)若函数 f(x1)的定义域为2,3，则 f(x)的定义域为1,2，则 f(2x1)有 12x12，解得 0 x12，即 f(2x1)的定义域为0，12.答案：(1)3,4(2)1,2(3)0，12对于求抽象的复合函数的定义域，主要有三种 情形：已知 f(x)的定义域为a，b，求 fu(x)的定义域，只需 求不等式 au(x)b 的解集；已知 fu(x)的定义域为a，b，求 f(x)的定义域，只需求u(x)的值域；已知
4、 fu(x)的定义域为a，b，求 fg(x)的定义域，必须先利用的方法求 f(x)的定义域，然后利用的方法求解【变式与拓展】1已知函数 f(x)的定义域为1,2)，则 f(x1)的定义域为(C)A1,2)C0,3)B0，2)D2,1)2已知函数 yf(x1)的定义域是2,3，则 yf(2x1)的定义域为_0，52解析：f(x1)的定义域为2,3，2x3.1x14.f(x)的定义域为1,4 12x14，0 x52.f(2x1)的定义域为0，52.题型 2 求函数的值域【例 2】求下列函数的值域：(1)y2 x3；(2)yx22x3；(3)y x1x；(4)y2x x1.解：(1)x0，2 x33
5、.y2 x3 的值域为3，)(2)yx22x3(x1)244，yx22x3 的值域为(，4(3)方法一：y xx11 1x1，且 1x10，y xx1的值域为y|y1方法二：y x1x，x y1y.y1.y xx1的值域为y|y1(4)由题意知，函数 y 的定义域为x|x1 (1)将已知函数转化为我们熟悉的函数，然后通过观察或数形结合来求值域(2)在利用换元法求函数值域时，一定要注意确定辅助元的取值范围，如在(4)中，要确定 t 的取值范围若忽视了这一点，就会造成错误令 x1t，则 t0，)，xt21.y2(t21)t2t2t2.yy(t)2t2t22t142158，且 t0，y(t)158.
6、原函数的值域为158，.【变式与拓展】解：把函数看成是x 的方程，变形，得(x3)y2x1(x3)，进一步整理，得(y2)x3y1，方程在定义域x|x3内有解 所求的值域为y|y23求函数 y2x1x3 的值域的条件即为：y20，3y1y2 3.y2.题型 3 实际问题中的定义域及值域问题 【例 3】等腰三角形的周长为 20 cm，写出底边长随腰长变化的函数关系式，并求出这个函数的定义域和值域解：设等腰三角形的腰长为 x cm，底边长为 y cm，则有 y2(10 x)注意到底边 y0，10 x0 x10.又三角形两边之和大于第三边，2(10 x)0，10 xx.5x10，即所求定义域为(5,
7、10)5x10，10 x5.010 x5.02(10 x)10，即所求值域为(0,10)【变式与拓展】4甲以 6 km/h 的速度用 2 h 由 A 城到达 B 城，在 B 城休息 1 h 后，再以 4 km/h 的速度返回到 A 城试写出甲到 A 城的距离 s(单位：km)与运动时间 t(单位：h)之间的函数关系式，并画出示意图图象如图 D7.图 D7解：s(t)6t，t0，2，12，t2，3，124t3，t3，6.【例 4】求函数 yf(x)x24x6，x1,5)的值域易错分析：对在函数定义域中，输入定义域内的每一个 x值，都有唯一的 y 值与之对应，错误地理解为函数在区间的两个端点上分别
8、取得最大值和最小值解：配方，得 yf(x)x24x6(x2)22.x1,5)，对称轴是 x2，当 x2 时，函数取最小值为 f(2)2.又f(5)11，f(1)3，f(1)f(5)11.f(x)的值域是2,11)方法规律小结1求函数值域的方法(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域(2)配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数值域的方法求函数的值域(3)判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的取值范围，常用于求一些“分式”函数、无理函数等的值域，使用此法要特别注意自变量的取值范围(4)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为熟悉的函数，从而利用熟知的函数求函数的值域要注意新的元的取值范围2抽象函数的定义域(1)fg(x)的定义域为a，b，是指 x 的取值范围为a，b(2)在同一对应关系 f 下，f(x)中的 x 与 fg(x)中的 g(x)范围一致，即若 f(x)的定义域为a，b，则 fg(x)的定义域是指满足不等式 ag(x)b 的 x 的取值范围的集合