1、2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共计60分）1设集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x32下列四组函数中，表示同一函数的是（）Ay=x1与y=By=与y=Cy=4lgx与y=2lgx2Dy=lgx2与y=lg3下列函数既是奇函数，又是增函数的是（）Ay=log2|x|By=x3+xCy=3xDy=x34已知函数f（x）=，那么f（5）的值为（）A32B16C8D645函数y=ax2+2（a0，且a1）的图象必经过点（）A（0，1）B（1
2、，1）C（2，2）D（2，3）6函数的定义域为（）A（2，3）B（2，4）C（2，3）（3，4D（1，3）（3，67函数f（x）=lnx+x39的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）8已知f（x）为奇函数，当x1，4时，f（x）=x24x+5那么当4x1时，f（x）的最大值为（）A5B1C1D59已知2lg（x2y）=lgx+lgy，则的值为（）A1B4CD或410已知f（x）=ax3+bx3其中a，b为常数，若f（2）=2，则f（2）的值等于（）A8B6C4D211函数的图象的大致形状是（）ABCD12定义符号maxa，b的含义为：当ab时，maxa，b=a；
3、当ab时，maxa，b=b如max2，3=2，max4，2=2，则maxx2+x2，2x的最小值是（）AB2CD4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共计20分）13幂函数f（x）的图象过点，则=14如果定义在区间2a，5上的函数f（x）为奇函数，则a=15函数y=x23x4的定义域是1，m，值域是，0，则m的取值范围是16下列各式：（1）；（2）已知，则；（3）函数y=2x的图象与函数y=2x的图象关于原点对称；（4）函数f（x）=的定义域是R，则m的取值范围是0m4；（5）已知函数f（x）=x2+（2m）x+m2+12为偶函数，则m的值是2其中正确的有（把你认为正确的序号全部写上）三解
4、答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共计70分）17设全集为R，集合A=x|1x3，B=x|2x4x2，1）求：AB，R（AB）；2）若集合C=x|2x+a0，满足BC=C，求实数a的取值范围18已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+1（1）求f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式f（x）19已知f（x）是定义在R上的奇函数，如图为函数f（x）的部分图象（1）请你补全它的图象；（2）求f（x）在R上的表达式；（3）写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）20已知函数f（x）为定义域在（0，+）上的增函数，且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）（
5、1）求f（1），f（4）的值 （2）如果f（x）f（x3）2，求x的取值范围21某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资关系如图（1）所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产问怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？22已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间2a，a+1上不单调，求实数a的取值范
6、围；（3）在区间1，1上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围2015-2016学年广东省深圳市宝安区第一外国语学校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分共计60分）1设集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，则AB=（）Ax|1x3Bx|1x1Cx|1x2Dx|2x3【考点】并集及其运算【专题】函数的性质及应用【分析】求解不等式得出集合A=x|1x2，根据集合的并集可求解答案【解答】解：集合A=x|（x+1）（x2）0，集合B=x|1x3，集合A=x|1x2，AB=x|1x3，故选：A【点评】本题
7、考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题2下列四组函数中，表示同一函数的是（）Ay=x1与y=By=与y=Cy=4lgx与y=2lgx2Dy=lgx2与y=lg【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】阅读型【分析】分别求出四组函数的定义域、对应法则、值域；据函数的三要素：定义域、对应法则、值域都相同时为同一个函数选出答案【解答】解：y=x1与y=|x1|的对应法则不同，故不是同一函数；y=（x1）与y=（x1）的定义域不同，它们不是同一函数；又y=4lgx（x0）与y=2lgx2（x0）的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y=lgx2（x0）与y=lg=lgx2（x0）有相同的定义
8、域，值域与对应法则，故它们是同一函数故选D【点评】本题考查函数的三要素：定义域、对应法则、值域；并利用三要素判断两个函数是否是一个函数，3下列函数既是奇函数，又是增函数的是（）Ay=log2|x|By=x3+xCy=3xDy=x3【考点】奇函数；函数单调性的性质【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】A：y=log2|x|是偶函数B：y=x+x3既是奇函数又是增函数C：y=3x非奇非偶函数D：y=x3是奇函数，但是在（0，+），（，0）递减函数，从而可判断【解答】解：A：y=log2|x|是偶函数B：y=x+x3既是奇函数又是增函数C：y=3x非奇非偶函数D：y=x3是奇函数，但是在（0，+）
9、，（，0）递减函数故选B【点评】本题主要考察了函数的奇偶性及函数的单调性的判断，属于基础试题4已知函数f（x）=，那么f（5）的值为（）A32B16C8D64【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】根据自变量所属于的范围代入相应的解析式求出值【解答】解：f（x）=，f（5）=f（4）=f（3）=23=8故选C【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意函数性质的合理运用5函数y=ax2+2（a0，且a1）的图象必经过点（）A（0，1）B（1，1）C（2，2）D（2，3）【考点】指数函数的单调性与特殊点【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据指数函数的性质，指数函数y=ax（
10、a0，a1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标【解答】解：由指数函数y=ax（a0，a1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=ax2+2，（a0，a1）的图象，可将指数函数y=ax（a0，a1）的图象向右平移两个单位，再向上平移两个单位则（0，1）点平移后得到（2，3）点故选：D【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=ax2+2（a0，a1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键6函数的定义域为（）A（2，3）B（2，4）C（2，3）（3，4D（1，3）（3，6【考点】函数
11、的定义域及其求法【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可【解答】解：函数，解得2x4，且x3；函数f（x）的定义域为（2，3）（3，4故选：C【点评】本题考查了利用函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目7函数f（x）=lnx+x39的零点所在的区间为（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【考点】函数零点的判定定理；二分法求方程的近似解【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数f（x）在（0，+）上是增函数，f（2）0，f（3）0，可得函数f（x）在区间（2，3）上有唯一的零点【解答】解：由于函数f（x
12、）=lnx+x39在（0，+）上是增函数，f（2）=ln210，f（3）=ln30，故函数f（x）=lnx+x39在区间（2，3）上有唯一的零点，故选：C【点评】本题主要考查函数的单调性，函数零点的判定定理，属于基础题8已知f（x）为奇函数，当x1，4时，f（x）=x24x+5那么当4x1时，f（x）的最大值为（）A5B1C1D5【考点】二次函数在闭区间上的最值【专题】函数的性质及应用【分析】根据已知条件能够求出f（x）在4，1上的函数解析式，通过对二次函数f（x）配方即可求出f（x）在4，1上的最大值【解答】解：设x4，1，则x1，4；f（x）=x2+4x+5=f（x）；f（x）=x24x5
13、=（x+2）21；x=2时，当4x1，f（x）的最大值为1故选C【点评】考查奇函数的定义，以及求函数解析式的方法，以及二次函数的最值9已知2lg（x2y）=lgx+lgy，则的值为（）A1B4CD或4【考点】对数的运算性质【分析】根据对数的运算法则，2lg（x2y）=lg（x2y）2=lg（xy），可知：x2+4y24xy=xy，即可得答案【解答】解：2lg（x2y）=lg（x2y）2=lg（xy），x2+4y24xy=xy（xy）（x4y）=0x=y（舍）或x=4y=4故选B【点评】本题主要考查对数的运算性质10已知f（x）=ax3+bx3其中a，b为常数，若f（2）=2，则f（2）的值等于
14、（）A8B6C4D2【考点】函数奇偶性的性质【专题】常规题型；函数思想；函数的性质及应用【分析】利用函数的奇偶性求解函数值即可【解答】解：f（x）=ax3+bx3其中a，b为常数，f（2）=2，8a2b3=2，可得8a+2b=5则f（2）=8a+2b3=53=8故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，是基础题11函数的图象的大致形状是（）ABCD【考点】函数的图象【专题】数形结合【分析】先利用绝对值的概念去掉绝对值符号，将原函数化成分段函数的形式，再结合分段函数分析位于y轴左右两侧所表示的图象即可选出正确答案【解答】解：y=当x0时，其图象是指数函数y=ax在y轴右侧的部分，
15、因为a1，所以是增函数的形状，当x0时，其图象是函数y=ax在y轴左侧的部分，因为a1，所以是减函数的形状，比较各选项中的图象知，C符合题意故选C【点评】本题考查了绝对值、分段函数、函数的图象与图象的变换，培养学生画图的能力，属于基础题12定义符号maxa，b的含义为：当ab时，maxa，b=a；当ab时，maxa，b=b如max2，3=2，max4，2=2，则maxx2+x2，2x的最小值是（）AB2CD4【考点】函数的最值及其几何意义【专题】新定义；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】设f（x）=maxx2+x2，2x，由定义讨论当x2+x22x，当x2+x22x，求得f（
16、x），运用二次函数和一次函数的单调性，可得最小值【解答】解：设f（x）=maxx2+x2，2x，当x2+x22x，即x2或x1时，f（x）=x2+x2，由于对称轴x=，可得f（x）在x2递增，可得f（x）f（2）=4，f（x）在x1递减，可得f（x）f（1）=2；当x2+x22x，即1x2时，f（x）=2x，可得f（x）在1x2递增，即有2f（x）4，综上可得，f（x）的值域为2，+），即有f（x）=maxx2+x2，2x的最小值为2故选B【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查二次不等式的解法，考查二次函数和一次函数的最值的求法，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分共计20分）
17、13幂函数f（x）的图象过点，则=2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可【解答】解：设幂函数为：f（x）=xa，幂函数f（x）的图象过点，可得=2a解得a=则=2故答案为：2【点评】本题考查幂函数的解析式的求法，函数值的求法，考查计算能力14如果定义在区间2a，5上的函数f（x）为奇函数，则a=7【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用【分析】利用函数的奇偶性的定义域的对称性，列出方程求解即可【解答】解：定义在区间2a，5上的函数f（x）为奇函数，可得a2=5，解得a=7故答
18、案为：7【点评】本题考查函数的解析式的定义的应用，是基础题15函数y=x23x4的定义域是1，m，值域是，0，则m的取值范围是【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】y=x23x4的图象是开口朝上，且以x=为对称的抛物线，故当x=时，函数取最小值，又由f（1）=f（4）=0，可得当函数y=x23x4的定义域是1，m，值域是，0时，实数m的范围【解答】解：y=x23x4的图象是开口朝上，且以x=为对称的抛物线，当x=时，函数取最小值，又f（1）=f（4）=0，当函数y=x23x4的定义域是1，m，值域是，0时，m，m的取值范围是，故答案为：【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和
19、性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键16下列各式：（1）；（2）已知，则；（3）函数y=2x的图象与函数y=2x的图象关于原点对称；（4）函数f（x）=的定义域是R，则m的取值范围是0m4；（5）已知函数f（x）=x2+（2m）x+m2+12为偶函数，则m的值是2其中正确的有（3）（5）（把你认为正确的序号全部写上）【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；简易逻辑；推理和证明【分析】根据指数的运算性质，化简式子，可判断（1）；根据对数函数的性质，求出a的范围，可判断（2）；根据函数图象的对称变换，可判断（3）；求出满足条件的m的范围，可判断（4）；根据偶函数的定义，可判断（5）【
20、解答】解：（1），故错误；（2）已知，则，或a1，故错误；（3）函数y=2x的图象与函数y=2x的图象关于原点对称，故正确；（4）函数f（x）=的定义域是R，则m的取值范围是0m4，故错误；（5）已知函数f（x）=x2+（2m）x+m2+12为偶函数，则f（x）=f（x），即x2（2m）x+m2+12=x2+（2m）x+m2+12，解得：m=2，故正确故正确的命题有：（3）（5），故答案为：（3）（5）【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数的运算性质，对数函数的性质，图象的对称变换，函数的定义域，函数的奇偶性等知识点，难度中档三解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共计
21、70分）17设全集为R，集合A=x|1x3，B=x|2x4x2，1）求：AB，R（AB）；2）若集合C=x|2x+a0，满足BC=C，求实数a的取值范围【考点】子集与交集、并集运算的转换【专题】计算题；集合【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集，并集，以及交集的补集即可；（2）BC=C，则BC，即可求实数a的取值范围【解答】解：（1）A=x|1x3，B=x|x2，全集为R，AB=x|x1，AB=x|2x3，CR（AB）=x|x2或x3；（2）C=x|2x+a0=x|x，BC=C，BC，2，a4【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键18已知函数f（x）是定义
22、在R上的奇函数，当x0时，f（x）=2x+1（1）求f（x）的解析式；（2）解关于x的不等式f（x）【考点】指、对数不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法【专题】函数的性质及应用【分析】（1）首先，当x=0时，f（0）=0，然后，设x0，则x0，然后，借助于函数为奇函数，进行求解即可（2）根据（1）中函数的解析式，分当x0时，当x=0时和当x0时三种情况，讨论不等式f（x）成立的x的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案【解答】解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以，当x=0时，f（0）=0，设x0，则x0，f（x）=2x+1，f（x）=f（x），f（x）=2x+1，（2）当x0时，2x+
23、12恒成立，不满足不等式f（x）当x=0时，f（x）=0，满足不等式f（x）当x0时，2x+12恒成立，满足不等式f（x）综上所述，不等式f（x）的解集为：（，0【点评】本题重点考查了函数的奇偶性与函数的解析式相结合知识点，涉及到指数的运算性质，属于中档题，难度中等19已知f（x）是定义在R上的奇函数，如图为函数f（x）的部分图象（1）请你补全它的图象；（2）求f（x）在R上的表达式；（3）写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用【分析】（1）由函数的对称性补全它的图象；（2）设f（x）=a（x0）（x2），从而求出函数解析式，由
24、奇函数解对称区间上的解析式；（3）由图象写出函数的单调区间【解答】解：（1）（2）当x0时，设f（x）=a（x0）（x2），把A点（1，1）代入，解得a=1，f（x）=x22x，（x0），当x0时，f（x）为R上的奇函数，f（x）=f（x）=（x）22（x）=x22x，；（3）由图知，f（x）在（，1和1，+）上单调递增，f （x）在（1，1）上单调递减【点评】本题考查了函数的解析式的求法，图象的作法及单调区间的写法，属于基础题20已知函数f（x）为定义域在（0，+）上的增函数，且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1），f（4）的值 （2）如果f（x）f（x3）2，求
25、x的取值范围【考点】抽象函数及其应用【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】（1）令x=y=1，可求出f（1），令x=y=2，结合条件，可求出f（4）；（2）将2换成f（4），结合条件得到f（x）f（4x12），再由单调性，即可求出x的取值范围，注意定义域【解答】解：（1）f（xy）=f（x）+f（y），令x=y=1，则f（1）=2f（1），即f（1）=0，令x=y=2，则f（4）=2f（2）=2（2）f（x）f（x3）2即f（x）f（x3）+2，即f（x）f（x3）+f（4），即f（x）f（4x12），函数f（x）为定义域在（0，+）上的增函数，即x4，故x的取值范围是（4，+）【点评】本题
26、主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，属于基础题21某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资关系如图（1）所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；（2）已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产问怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？【考点】函数模型的选择与应用【专题】函数的性质及应用【分析】（1）对于A，当0x2时，因为图象过（2，0.5）和原点，当x2时，图象过（2，0.5）
27、和（3，1），可得函数的解析式；对于B，易知（2）设投入B产品x万元，则投入A产品（18x）万元，利润为y万元分16x18时，0x16时两种情况求出函数的最大值，比较后可得答案【解答】解：（1）对于A，当0x2时，因为图象过（2，0.5），所以，2分当x2时，令y=kx+b，因图象过（2，0.5）和（3，1），得，解得，故；4分对于B，易知5分（2）设投入B产品x万元，则投入A产品（18x）万元，利润为y万元若16x18时，则018x2，则投入A产品的利润为，投入B产品的利润为，则y=+，令，则，此时当t=4，即x=16时，ymax=9万元；8分当0x16时，218x18，则投入A产品的利润为
28、，投入B产品的利润为，则y=+，令，t0，4），则，当t=2时，即x=4时，ymax=10.5万元；11分由10.59，综上，投入A产品14万元，B产品4万元时，总利润最大值为10.5万元12分【点评】本题考查的知识点是函数的选择与应用，函数的最值，难度不大，属于基础题22已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间2a，a+1上不单调，求实数a的取值范围；（3）在区间1，1上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解
29、析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可【解答】解：（1）由已知f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）对称轴为x=1又最小值为1设f（x）=a（x1）2+1又f（0）=3a=2f（x）=2（x1）2+1=2x24x+3（2）要使f（x）在区间2a，a+1上不单调，则2a1a+1（3）由已知2x24x+32x+2m+1在1，1上恒成立化简得mx23x+1设g（x）=x23x+1则g（x）在区间1，1上单调递减g（x）在区间1，1上的最小值为g（1）=1m1【点评】本题考查待定系数法和二次函数的单调性和最值，须注意恒成立问题的转化属简单题