1、高三一轮第五章 数列5.5 数列综合 1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.考纲解读知识点 1 解答数列应用题的步骤(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到原实际问题中知识梳理具体解题步骤用框图表示如下：知识点 2 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这
2、个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目给出了数列前后两项的关系，或前 n 项和 Sn与 Sn1之间的关系，可考虑通过建立递推数列模型求解必会结论；银行储蓄中的计算公式(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为 p 元，每期利率为 r，存期为 n，则本利和 Sp(1r)n.(2)单利公式：利息按单利计算，本金为 p 元，每期利率为 r，存期为 n，则本利和 Sp(1nr)(3)产值模型：原来产值的基础数为 N，平均增长率为 r，对于时间 x 的总产值 yN(1r)x.考向 1 等差数列与等比数列的综合应用1已知an为等差数列且公差 d0，其首项 a120，且 a3，a7，a9 成等比数
3、列，Sn 为an的前 n 项和，nN*，则 S10 的值为()A110 B90 C90 D110考点分类突破【解析】由 a3，a7，a9成等比数列，则 a3a9(a7)2，即(a12d)(a18d)(a16d)2，化简可得 2a1d20d20，由 a120，d0，解得 d2.则 S1010a11092(2)110.【答案】D2设数列an是以 3 为首项，1 为公差的等差数列，bn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则 ba1ba2ba3ba4()A15 B60 C63 D72【解析】数列an是以 3 为首项，1 为公差的等差数列，则 an3(n1)1n2，bn是以 1 为首项，2 为公比的
4、等比数列，则 bn2n1，则 ba1ba2ba3ba4b3b4b5b62223242560.【答案】B3已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn，bn是等比数列(bn0)，且 a1b12，a3b316，S4b334.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记 Tn为数列anbn的前 n 项和，求 Tn.【解】(1)设数列an的公差为 d，数列bn的公比为 q，由已知 q0，a1b12，a3b316，S4b334.22d2q216，6d2q234 d3，q2，ana1(n1)d23(n1)3n1，bnb1qn12n.(2)Tn22522(3n1)2n，2Tn222523(3n1)2n1，两式相
5、减得Tn432232n(3n1)2n141212n112(3n1)2n18(3n4)2n1.Tn(3n4)2n18.等差数列、等比数列综合问题的解题策略1分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为先出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序2在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的归纳升华考向 2 数列的实际应用1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000 万元，将
6、其投入生产，到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元(1)用 d 表示 a1，a2，并写出 an1 与 an 的关系式；(2)若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示)考点分类突破【解】(1)由题意得：a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)d32a1d4 50052d，an1an(150%)d32and.(2)由(1)得 an32an1d32
7、32an2d d322an232dd32n1a1d13232232n2整理得：an32n1(3 000d)2d32n1132n1(3 0003d)2d.由题意，am4 000，即32m1(3 0003d)2d4 000.解得 d32m2 1 00032m11 0003m2m13m2m.故该企业每年上缴资金 d 的值为1 0003m2m13m2m时，经过 m(m3)年企业的剩余资金为 4 000 万元2.准确求解模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程(组)或者不等式(组)等，在解模时要注意运算准确3给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解
8、题中不要忽视了这一点1.现有一根 n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为 10 cm，最下面的三节长度之和为 114 cm，第 6 节的长度是首节与末节长度的等比中项，则 n_.跟踪训练【解析】设对应的数列为an，公差为 d(d0)由题意知 a110，anan1an2114，a26a1an，由 anan1an2114，得 3an1114，解得 an138，(a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)，解得 d2，an1a1(n2)d38，即 102(n2)38，解得 n16.【答案】16解答数列实际应用问题的步骤1确定模型类型：理解题意，看是哪类数列
9、模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型，基本特征见下表：数列模型基本特征等差数列均匀增加或者减少等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推数列指数增长的同时又均匀减少如年收入增长率为 20%，每年年底要拿出 a(常数)作为下年度的开销，即数列an满足 an11.2ana归纳升华考向 3 数列与其他知识的交汇问题命题角度 1 数列与函数的交汇问题1已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数且满足 f(3x)f(x)，f(2)5，数列an满足 a11，且 Sn2ann(其中 Sn 为an的前 n 项和)，则 f(a4)f(a5)_.考点分类突破【解析】函数 f(
10、x)是奇函数，f(x)f(x)且 f(0)0，又f(3x)f(x)，f(x)是以 3 为周期的周期函数，f(2)f(1)5，a11，且 Sn2ann，a23，a37，a415，a531，f(a4)f(a5)f(15)f(31)f(0)f(1)0f(2)5.【答案】52(2014四川高考)设等差数列an的公差为 d，点(an，bn)在函数 f(x)2x的图象上(nN*)(1)若 a12，点(a8,4b7)在函数 f(x)的图象上，求数列an的前 n 项和 Sn；(2)若 a11，函数 f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1ln 2，求数列anbn 的前 n 项和 T
11、n.【解】(1)由已知，b72a7，b82a84b7，有 2a842a72a72.解得 da8a72.所以 Snna1nn12d2nn(n1)n23n.(2)函数 f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为 y2a2(2a2ln 2)(xa2)，它在 x 轴上的截距为 a2 1ln 2.由题意知，a2 1ln 22 1ln 2，解得 a22.所以 da2a11，从而 ann，bn2n，anbnn2n.所以 Tn12222323n12n1 n2n，2Tn1122322 n2n1.因此，2TnTn112122 12n1n2n2 12n1n2n2n1n22n所以 Tn2n1n22n.命题角度 2 数
12、列与不等式的交汇问题3(2014广东高考)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，且 Sn满足 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求 a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有1a1a111a2a211anan113.【解】(1)令 n1 代入得 a12(负值舍去)(2)由 S2n(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*得Sn(n2n)(Sn3)0.又已知各项均为正数，故 Snn2n.当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当 n1 时，a12 也满足上式，所以 an2n，nN*.(3)证明：kN*,4k22k(3k23k)
13、k2kk(k1)0，4k22k3k23k，1akak112k2k114k22k13k23k131k 1k1.1a1a111a2a211anan113111212131n 1n1131 1n1 13.不等式成立数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略1数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决归纳升华2数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到(3)比较方法：作差或者作商比较课时练与测（学生版）作 业