1、第一章 立体几何初步1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.3 空间中的垂直关系第二课时 平面与平面垂直自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1掌握平面与平面垂直的定义2掌握平面与平面垂直的判定与性质定理3理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系.1平面与平面垂直如果两个_平面的交线与第三个平面_，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线_，就称这两个平面互相垂直相交垂直互相垂直2平面与平面垂直的判定定理定理：如果一个平面过另一个平面的_，则两个平面互相垂直符号语言：a平面a平面.一条垂线3平面与平面垂直的性质定理定 理：如 果 两 个 平 面 互 相 垂 直，那 么 在 一 个
2、 平 面 内_直线垂直于另一个平面符号语言：ababa.垂直于它们交线的1过两点与一个已知平面垂直的平面()A有且只有一个B有无数个C有一个或无数个D可能不存在解析：当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直；当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直答案：C2如果直线 l，m 与平面，之间满足：l，l，m 和 m，那么()A 且 lmB 且 mCm 且 lmD 且 答案：A3平面 平面，l，n，nl，直线 m，则直线 m 与 n 的位置关系是_解析：，l，n，nl，n，又 m，mn.答案：平行典例精析 规律总结课堂互动探究1平面与平面垂直的判定类型 如图，在四棱锥 PA
3、BCD 中，PC平面 ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面 PAC；(2)求证：平面 PAB平面 PAC；(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由【解】(1)证明：PC平面 ABCD，PCDC.又DCAC，PCACC，DC平面 PAC.(2)证明：ABDC，DCAC，ABAC.又PC平面 ABCD，PCAB，ACPCC，AB平面 PAC，AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAC.(3)棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.证明：如图，取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又E 为 AB 的中点，EFPA.
4、又PA平面 CEF，EF平面 CEF，PA平面 CEF.【知识点拨】面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直 如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO底面 ABCD，E 是 PC 的中点PO 2，AB2.(1)求棱锥 PABCD 的体积；(2)求证：平面 PAC平面 BDE.解：(1)VPABCD13POSABCD13 2224 23.(2)证明：ABCD 是正方形，ACBD.又 PO底面 ABCD，BDPO，又 POACO.BD平面 PAC，BD平面 BDE，平面 PAC平面 BDE.2平面与平面垂直的性质定理及应用类型 如图(a
5、)，在直角梯形 ABCD 中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC平面 ABC，得到几何体 DABC，如图(b)所示(1)求证：BC平面 ACD；(2)求几何体 DABC 的体积【解】(1)证明：如图，过 C 作 CEAB，垂足为 E，则由题意可知 CEAEBE2，BC2 2，又AC22222 2，BC2AC216AB2，BCAC，又平面 ACD平面 ABC，平面 ADC平面 ABCAC，BC平面 ABC，BC平面 ACD.(2)VDABCVBADC13BCSADC132 212224 23.【知识点拨】面面垂直的性质是作平面的垂线的重要依据，若需
6、作平面的垂线，首先找与平面垂直的平面(2017江苏卷)如图，在三棱锥 ABCD中，ABAD，BCBD，平面 ABD平面 BCD，点 E，F(E 与A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EFAD.求证：(1)EF平面 ABC；(2)ADAC.证明：(1)在平面 ABD 内，因为 ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为 EF平面 ABC，AB平面 ABC，所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD，平面 ABD平面 BCDBD，BC平面 BCD，BCBD，所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD，所以 BCAD.又 ABAD，BCABB，AB平面 ABC，BC平面
7、ABC，所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 ABC，所以 ADAC.3面面垂直的综合应用类型 (2017北京卷)如图，在三棱锥PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D 为线段 AC 的中点，E为线段 PC 上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面 BDE平面 PAC；(3)当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积【解】(1)证明：因为 PAAB，PABC，所以 PA平面 ABC.又因为 BD平面 ABC，所以 PABD.(2)证明：因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以 BDAC.由(1)知，PABD，所以 BD平面 PAC.所以平面 BDE平面
8、 PAC.(3)因为 PA平面 BDE，平面 PAC平面 BDEDE，所以 PADE.因为 D 为 AC 的中点，所以 DE12PA1，BDDC 2.由(1)知，PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC.所以三棱锥 EBCD 的体积 V16BDDCDE13.如图，空间几何体 ADEBCF 中，四边形 ABCD 是梯形，四边形 CDEF是矩形，且平面 ABCD平面 CDEF，ADDC，ABADDE2，EF4，M 是线段 AE 上的动点(1)试确定点 M 的位置，使 AC平面 MDF，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面 MDF 将几何体 ADEBCF 分成两部分，求空间几何体 MDEF 与空
9、间几何体 ADMBCF 的体积之比解：(1)M 为 AE 的中点时，AC平面 MDF，证明如下：连接 EC 交 DF 于点 O，连接 MO，因为四边形 CDEF 是矩形，O 为 EC 的中点，M 为 AE 的中点，MOAC.MO平面 MDF，AC平面 MDF，AC平面 MDF.(2)平面 ABCD平面 CDEF，平面 ABCD平面 CDEFCD，AD平面 ABCD，ADCD，AD平面 CDEF.M 为 AE 的中点，M 到平面 EDF 的距离为12AD1.VMDEF131122443.取 EF 的中点 G，CD 的中点 H，连接 GH，BH，BG，则 VABEFCDVADEBHGVBGFCHS
10、ADEDH13BHSGFCH1222213222203，VADMBCFVABEFCDVMEDF203 43163，VMDEFVADMBCF14.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 概念辨析1设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列条件，能得到 m 的是()A，mBm，Cmn，nDmn，n答案：D2设 a，b 为两条直线，为两个平面，则下列结论成立的是()A若 a，b，且 ab，则 B若 a，b，且 ab，则 C若 a，b，则 abD若 a，b，则 ab答案：D知识点二 面面垂直的综合应用3.如图，已知四棱锥 PABCD 底面 ABCD为正方形，PA平面 ABCD，给出下列命
11、题：PBAC；平面 PAB 与平面 PCD 的交线与 AB 平行；平面 PBD平面 PAC；PCD 为锐角三角形其中真命题的序号是()ABCD解析：若 PBAC，又 ACPA，AC平面 PBA，ACAB，显然不对，所以错；ABCD，AB平面 PCD，平面 PAB 与平面 PCD 的交线与 AB 平行，正确；ABCD为正方形，ACBD，又 PA平面 ABCD，PABD，BD平面 PAC，平面 PBD平面 PAC，正确；又 CDAD，CDPA，CD平面 PAD，CDPD，PCD 为直角三角形，错故选 A答案：A知识点三 面面垂直的判定4如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别是 AB，
12、BB1的中点，ABBC.证明：(1)BC1平面 A1CD；(2)平面 A1EC平面 ACC1A1.证明：(1)连接 AC1 交 A1C 于 O，连接 OD，则 O 为 AC1 的中点，D 为 AB 的中点，ODBC1.又 OD平面 A1CD，BC1平面 A1CD，BC1平面 A1CD.(2)ABBC，取 AC 的中点 M，连接 MO，OE，BM，BMAC.又 BMAA1，BM平面 ACC1A1.又 OM12BB1，BE12BB1，OMBE，四边形 MBEO 是平行四边形，BMOE，OE平面 ACC1A1.OE平面 A1EC，平面 A1EC平面 ACC1A1.知识点四 面面垂直的性质5如图，已知 ABCD 是矩形，E 是以 DC 为直径的半圆周上的一点，且平面 CDE平面 ABCD.求证：CE平面 ADE.证明：四边形 ABCD 是矩形，ADDC.又平面 CDE平面 ABCDCD，平面 CDE平面 ABCD，AD平面 CDE.又 CE平面 CDE，ADCE.E 是以 DC 为直径的半圆周上的一点，DEEC.ADDED，CE平面 ADE.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块