1、天津市南开区南开中学2020届高三数学上学期2月月考试题（含解析）一、选择题1.设,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为=,=,所以.故选C2.一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的高为（ ）A. 1B. C. 2D. 【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径是，母线长，所以，即，根据圆心角公式，即，所以解得，那么高考点：圆锥的面积3.设函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由函数f（x）得即或所以考点：分段函数和解不等式【此处有视频，请去附件查看】4.下列四个函数：y3x；y2x1(x0)；yx22x10；y，其
2、中定义域与值域相同的函数的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】逐个选项分析，分析函数的定义域及值域即可.【详解】对于，函数y3x的定义域和值域均为R，符合题意；对于，函数y2x1(x0)的定义域为，值域为，不合题意；对于，函数yx22x10的定义域为R，值域为11，)，不合题意；对于，函数的定义域和值域都是R综上可知定义域与值域相同的函数是，共有2个选B【点睛】本题主要考查了一次函数，指数型函数，二次函数，分段函数的定义域及值域的求法，属于中档题.5.函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分段函数在定
3、义域内单调递减须满足在各段单调递减，还需要注意连接点处的函数值，由此可得，解出即可【详解】解：因为函数是上的单调减函数，所以，所以，故选：B【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，属于易错的基础题6.已知函数且的最大值为,则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对x进行分类讨论，当x2时，f（x）=x1和当x2时，2+logax1由最大值为1得到a的取值范围【详解】当x2时，f（x）=x1，f（x）max=f（2）=1函数（a0且a1）的最大值为1,当x2时，2+logax1，解得a，1）故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查分段函数的最值问题，考查对数函数的图像和性质，
4、意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是分析推理出当x2时，2+logax17.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由f(x)为奇函数可知，0时，f(x)0f(1)；当x0f(1)又f(x)在(0，)上增函数，奇函数f(x)在(，0)上为增函数所以0x1，或1x0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内【此处有视频，请去附件查看】8.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ）A. B
5、. C. D. 【答案】A【解析】, 且 ，所以函数为单调递减的奇函数，因此 即 ，选A.点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内9.已知函数是上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有.则给出下列命题：；为函数图象的一条对称轴；函数在上为减函数；方程在上有4个根；其中正确的命题个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】分析】由可得，结合偶函数的性质可得，从而推出，可得函数是以6为周期的周期函数，从而可判断，又根据当，且时，都有可得函数在上单调递增，结合函数
6、值以及对称性可判断【详解】解：对于，令，由得，又函数是上的偶函数，即函数是以6为周期的周期函数，；又，所以，从而，即正确；对于，函数关于y轴对称，周期为6，函数图象的一条对称轴为，故正确；对于，当，且时，都有，设，则，故函数在上是增函数，根据对称性，易知函数在上减函数，根据周期性，函数在上为减函数，故正确；对于，因为，又由其单调性及周期性可知在，有且仅有，即方程在上有4个根，故正确；故选：D【点睛】本题主要考查抽象函数的基本性质的综合应用，属于中档题二、填空题10.已知函数的定义域为，且，则_【答案】【解析】【分析】易知，联立已知式子，得关于和的方程组，解方程进而可解.【详解】在，用代替x，得
7、，联立得 ，将代入中，可求得故填：【点睛】本题考查了通过给定条件求函数解析式的问题；求解函数解析式的几种常用方法有 ：换元法；待定系数法；凑配法；消元法；赋值法等.11.已知函数的定义域为，直线和是曲线的对称轴，且，则_.【答案】2【解析】【分析】（定义法）由的图象关于直线对称，得，同理得，从而可推出，进而可得出答案（性质法）由直线和是曲线的对称轴，可得函数的周期是2，从而可求出答案【详解】解：（定义法）由的图象关于直线对称，得，同理得，则，所以，则.（性质法）由直线和是曲线的对称轴，可得函数的周期是2.又，则.故答案为：2【点睛】本题主要考查函数对称性的应用，考查函数的周期性，属于中档题12
8、.设是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合，则方程的解的个数是_【答案】8【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
9、从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等13.设函数的定义域为，若对于任意的，当时，恒有，则称点为函数图像的对称中心.研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 .【答案】【解析】试题分析：由知当时，.，则.考点：函数的对称性.【方法点晴】平时我们讲得对称中心都在轴上，很容易得到为奇函数，对称中心为,由可得到该函数对称中心为，由此可得，再由值的对称性，即可求结果本题虽然考查的知识点比较少，但内容抽象，不易理解，还要借助于数的对称，来解决问题本题属于难题.14.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则_.【答案】【解析】【分析】可得，从而
10、有函数的一个周期为8，再结合奇函数的性质可得函数的图象关于对称，结合题意可画出函数的大致图象，结合图象可求出答案【详解】解：因为，所以，即函数的一个正周期为8，又因为为奇函数，故函数的图象关于对称，又由题意可知在上单调递增，综上，可以画出函数图象的示意图：方程在区间上有四个不同的根，不妨设，则，则【点睛】本题主要考查函数的图象与性质得综合应用，考查数形结合思想，属于难题15.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数是上的平均值函数，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据新定义可得
11、在区间上有解，利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设，在区间上有解，.在的值域为，所以方程有解实数m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查函数在区间上能成立的问题，常用分离变量法，属于难题三、解答题16.设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值与最小值.【答案】（1）；（2）最大值，最小值.【解析】【分析】（1）根据降幂公式以及诱导公式化简函数，再根据周期计算公式即可得出答案；（2）先求得，再求出的范围，从而可求出函数的最值【详解】解：（1）因为，所以函数的最小正周期为；（2）由（1）得，因为，所以，所以，所以，当时，取到最大值；当时，取到最小值【点睛】本题主要考查三
12、角函数的周期、最值，属于基础题17.如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点使得平面，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（）见解析;（）;（）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）证线面平行，则要在平面找一线与之平行即可，显然分析即得证，（2）求二面角可借助空间直角坐标系将两个平面的法向量一一求出，再根据向量的数量积公式便可求解（3）存在问题可以根据结论反推即可，容易得因为，所以与不垂直，故不存在试题解析：（）因为，且，所以，所以.因为为正三角形，所以，又由已知可知为平面四
13、边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（）由点在平面上的射影为可得平面，所以，.以分别为建立空间直角坐标系，则由已知可知，.平面的法向量，设为平面的一个法向量，则由可得令，则，所以平面的一个法向量，所以，所以二面角余弦值为.（）由（）可得，因为，所以与不垂直，所以在线段上不存在点使得平面.点睛：对于立体几何问题，首先要明确线面平行，线面垂直，以及二面角的定义和判定定理，而对于二面角问题我们通常首选建立坐标系用向量来解题，但在写坐标时要求其注意坐标的准确性18.已知数列的前项和满足（），且.（）证明：数列是等比数列；（）求数列的前项和.【答案】（1）见解析（2）.【解析】试题分析：证明数列为等比
14、数列，就是要证明等比数列符合等比数列的定义，所证数列的通项恰好就是最好的暗示，从已知利用把条件转化为与的关系，进而得到证明；再利用错位相减法求出数列的和.试题解析：（）依题意可得：，.又，数列是首项为1，公比的等比数列.（）令，.又，数列是以1为首项，为公比的等比数列.（）. ， .两式相减得： . . .【点睛】数列问题是高考必考问题，特别是等差数列和等比数列，使用这个公式是解决数列问题的关键；数列求和要掌握几种基本方法，19.已知函数，.（1）若，求证:当时，；（2）若对任意恒成立，求t的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）将代入解析式得，从而有，令，求导判断函
15、数的单调性，从而求出最值得出结论；（2）由题意得，令，先根据，此时，令，从而可推出函数在递增，从而得出结论【详解】（1）证：当时，即证；令，则，所以在上单调递增，所以，即；（2）解：由，令，首先由，此时，令，因为所以，所以恒成立，即，在递增，故，综上：的取值范围【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值问题，考查恒成立问题，属于难题20.已知函数在处的切线经过点（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在单调递减；（2）.【解析】试题分析：(1)对函数进行求导，结合导函数与切线的关系求得 实数 的值，确定函数的解析式之后即可讨论函数的单调性.(2)分离系数后讨论 的取值范围即可，构造新函数后求导，讨论新函数的值域，注意讨论值域时利用反证法假设存在实数 满足 ，由得出的矛盾知假设不成立，即函数的最小值开区间处为 .试题解析：（1）由题意得，在处的切线方程为即，点在该切线上， 函数在单调递减；（2）由题意知且，原不等式等价于，设，由（1）得在单调递减，且，当时，；当时，；，假设存在正数，使得，若，当时，；若，当时，；不存在这样的正数，使得，的值域为的取值范围为.点睛：(1)准确求切线的方程是本题求解的关键；第(2)题将分离系数后考查恒成立的问题，进而运用导数研究，体现了函数思想与转化思想的应用
