1、第二节直线的交点与距离公式课标要求考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1.高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离2常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目3题型以选择题、填空题为主，属于中低档题. 知识点一两条直线平行与垂直的判定知识点二两条直线的交点知识点三三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相等1思
2、考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交()(2)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()解析：(1)当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合(2)应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为.(3)因为最小
3、值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离(4)两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离(5)根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上2小题热身(1)已知直线(k3)x(4k)y10与2(k3)x2y30平行，那么k的值为(C)A1或3 B1或5C3或5 D1或2(2)直线ax2y10与直线2x3y10垂直，则a的值为(D)A3 BC2 D3(3)直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为.(4)点(a，b)关于直线xy10的对称点是(b1，a1)(5)直线2x2y10，
4、xy20之间的距离是.解析：(1)法1：把k1代入已知两条直线，得2x3y10与4x2y30，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k1，排除A，B，D.法2：因已知两条直线平行，所以k3或解得k3或k5.(2)由2a2(3)0，得a3.(3)由得代入yax2得a.(4)设对称点的坐标为(x0，y0)，则即解之得即对称点坐标为(b1，a1)(5)先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d. 考点一两条直线的平行与垂直问题【例1】(1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A1 B2C0或2 D1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l
5、2：ax2y0，若l1l2，则a_.【解析】(1)若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线平行，则有，解得a1或2.(2)因为l1l2，所以k1k21.即(1)1，解得a2.【答案】(1)D(2)2方法技巧(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.1若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为(D)A. B.C
6、. D.解析：由已知得3(a1)a0，解得a.2已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为25.解析：由两直线平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.考点二两直线的交点与距离问题【例2】(1)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_(2)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_(3)若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则c的值是_【
7、解析】(1)先解方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.(2)由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解之得0a10，所以a的取值范围是0,10(3)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间距离为，所以，解得c2或6.【答案】(1)5x3y10(2)0,10(3)2或6方法技巧1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距
8、离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等1若直线l与两直线y1，xy70分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，1)，则直线l的斜率是(A)A B.C D.解析：由题意，设直线l的方程为yk(x1)1，分别与y1，xy70联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，1)，所以由中点坐标公式得k.2若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为(C)A. B.C. D.解析：因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即
9、，所以|PQ|的最小值为.3(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是4.解析：解法1：设P(x，x)，x0，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x，即x时取等号，故点P到直线xy0的距离的最小值是4.解法2：由yx(x0)得y1，令11，得x，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线xy0的距离最小，最小值为4.考点三对称问题命题方向1点关于点对称【例3】(1)点M(m，1)关于点N(2，n)的对称点为P(4，5)，则()Am3，n8 Bm3，n8Cm3，n8 Dm8，n3(2)直线x2y30关于定点M(2,1)对称的直
10、线方程是_【解析】(1)因为点M，P关于点N对称，所以由中点坐标公式可知2，即m8，n3，故选D.(2)方法1：设对称的直线上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点M(2,1)对称的点的坐标为(4x,2y)(4x,2y)在直线x2y30上，(4x)2(2y)30，即x2y110.方法2：根据对称性知对称直线与已知直线平行，因此可设对称直线的方程为x2y0(3)，则点M到两条直线的距离相等，即，解得11，所以所求的直线方程为x2y110.【答案】(1)D(2)x2y110命题方向2点关于线对称【例4】如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，
11、最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A3 B6C2 D2【解析】直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|2.【答案】C命题方向3直线关于直线对称【例5】直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.【答案】x2y30方法技巧1(方向2)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n
12、)重合，则mn等于(A)A. B.C. D.解析：由已知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得所以mn.2(方向2)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为6xy60.解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.3(方向1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x4y40.解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.