1、第三章第二节一、选择题1(原创题)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f (x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为()A1B2C3D4答案A解析从f (x)的图像可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，在(a，b)内只有一个极小值点2已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9B6C9D6答案D解析y4x32ax，y|x142a8a6.3设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A(a，b)B(a，c)C(b，c)D(ab，c)答案A解析f(x)3
2、ax22bxc，由题意知1、1是方程3ax22bxc0的两根，11，b0，故选A4在R上可导的函数f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf(x)0，使xf(x)0的范围为(，1)；在(1,1)上f(x)递减，所以f(x)0，使xf(x)0的范围为(0,1)5(文)(2014新课标)若函数f(x)kxlnx在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是()A(，2B(，1C2，)D1，)答案D解析由条件知f(x)k0在(1，)上恒成立，k1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键(理)已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是(
3、)ABCD答案C解析f (x)3x212x93(x1)(x3)，由f (x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0.0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0.f(0)f(1)0.正确结论的序号是.6已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值答案
4、C解析本题考查函数零点的判断及函数的极值当k1时，f(x)(ex1)(x1)，此时f (x)ex(x1)(ex1)exx1，A、B项均错当k2时，f(x)(ex1)(x1)2此时f (x)ex(x1)2(2x2)(ex1)exx22xex2ex(x1)(x1)2(x1)(x1)ex(x1)2，易知g(x)ex(x1)2的零点介于0,1之间，不妨设为x0，则有x(，x0)x0(x0,1)1(1，)f (x)00f(x)极大值极小值故f(x)在x1处取得极小值二、填空题7(文)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是_答案(2，)解析f (x)ex(x3)exex(x2)，由f (x)0得x2.(
5、理)已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数f (x)的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是_答案c解析由f (x)的图像知，x0是f(x)的极小值点，f(x)极小值f(0)C8已知函数f(x)(m2)x2(m24)xm是偶函数，函数g(x)x32x2mx5在(，)内单调递减，则实数m的值为_答案2解析f(x)(m2)x2(m24)xm是偶函数，m240，m2.g(x)在(，)内单调递减，g(x)3x24xm0恒成立，则1612m0，解得m，m2.9已知函数f(x)axlnx，若f(x)1在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围为_答案a1解析由已知得a在区间(1，)内恒成立设g(x)，则
6、g(x)0(x1)，g(x)在区间(1，)内单调递减，g(x)g(1)，g(1)1，1在区间(1，)内恒成立，a1.三、解答题10已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由解析(1)f (x)3ax22bxc，x1是函数f(x)的极值点，且f(x)在定义域内任意一点处可导x1使方程f (x)0，即为3ax22bxc0的两根，由根与系数的关系得又f(1)1，abc1由解得a，b0，c.(2)由(1)知f(x)x3x，f (x)x2(x1)(x1)，当x1或x0，当1x1时，f (x)0
7、，函数f(x)在(，1)和(1，)上为增函数，在(1,1)上为减函数，当x1时，函数取得极大值f(1)1；当x1时，函数取得极小值f(1)1.一、选择题1(文)设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1CaDa答案A解析yexa，由条件知，有解，aex0在(，)上恒成立即a2x.函数yx2与函数y2x在(，)上为减函数a423.2已知向量a，b满足|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2abx在R上单调递增，则a，b的夹角的取值范围是()A0，)B0，C(，D(，答案B解析易得f(x)x2|a|xab，函数f(x)x3|a|x2abx在R上单调递增时，方程x2|
8、a|xab0的判别式|a|24ab0，设a，b的夹角为，则|a|24|a|b|cos0，将|a|2|b|0代入上式得12cos0，即cos，又0，故0.二、填空题3f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则常数c的值为_ .答案6解析f(x)x32cx2c2x，f (x)3x24cxc2，f (2)0c2或c6.若c2，f (x)3x28x4，令f (x)0x2，f (x)0x2，故函数在(，)及(2，)上单调递增，在(，2)上单调递减，x2是极小值点，故c2不合题意c6.4给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f (x)存在，且导函数f (x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记
9、f(x)(f (x).若f(x)0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是_(把你认为正确的序号都填上)f(x)sinxcosx；f(x)lnx2x；f(x)x32x1；f(x)xex.答案解析对于，f(x)(sinxcosx)，x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)，在x(0，)时，f(x)0恒成立；对于，f(x)6x，在x(0，)时，f(x)0恒成立，所以f(x)xex不是凸函数三、解答题5(2014保定调研)已知函数f(x)lnxaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的
10、取值范围解析(1)函数的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a或a1.因为a0，所以a1.(2)当a0时，f(x)lnx，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)单调递增极大值单调递减所以f(x)maxf()ln1.综上可得a1.6(文)(2015北京东城区统一检测)已知函数f(x)x3mx23m2x1，mR.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若f(x)在区间(2,3)上是减函数，求m的取值范围解析(
11、1)当m1时，f(x)x3x23x1，又f (x)x22x3，所以f (2)5.又f(2)，所以所求切线方程为y5(x2)，即15x3y250.所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为15x3y250.(2)因为f (x)x22mx3m2，令f (x)0，得x3m或xm.当m0时，f (x)x20恒成立，不符合题意当m0时，f(x)的单调递减区间是(3m，m)，若f(x)在区间(2,3)上是减函数，则，解得m3.当m0时，f(x)的单调递减区间是(m，3m)，若f(x)在区间(2,3)上是减函数，则，解得m2.综上所述，实数m的取值范围是m3或m2.(理)(2014江西理，18)已知函数f(x)(x2bxb)(bR)(1)当b4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0，)上单调递增，求b的取值范围解析(1)当b4时，f(x)(x2)2的定义域为(，)，f (x)，由f (x)0得x2或x0.当x(，2)时，f (x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f (x)0，f(x)单调递减，故f(x)在x2取极小值f(2)0，在x0取极大值f(0)4.(2)f (x)，因为当x(0，)时，0，依题意当x(0，)时，有5x(3b2)0，从而(3b2)0.所以b的取值范围为(，