1、第一章 立体几何初步1.1 空间几何体1.1.4 投影与直观图自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1了解中心投影和平行投影的主要特征和关系2会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图，会画出某些建筑物或零件的直观图3通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图，了解空间图形的不同表示形式.1平行投影(1)平行投影的概念已知图形 F，直线 l 与平面 相交(如图所 示)，过 F 上 任 意 一 点 M 作 直 线MM_l，交平面 于点 M，则点 M叫做点 M 在平面 内关于直线 l 的平行投影(或象)如果图形 F 上的所有点在平面 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F，则 F叫做
2、图形 F 在平面 内关于直线 l 的平行投影平面 叫做_，l 叫做_平行于投射面投射线(2)平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影就具有下述性质：直线或线段的平行投影仍是_；平行直线的平行投影是_；平行于投射面的线段，它的投影与这条线段_；与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形_；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于_直线或线段平行或重合的直线平行且等长全等这两条线段的比2直观图及斜二测画法(1)用 来 表示 空 间 图形 的 平 面图 形，叫做 空 间 图形 的_(2)斜二测画法的规则在已知模型所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作 Oz
3、 轴，使xOz90，且yOz90.画直观图时，把 Ox，Oy，Oz 画成对应的轴 Ox，Oy，Oz，使_，xOy所确定的平面表示水平平面xOy45(或 135)，xOz90直观图已知图形中，平行于 x 轴，y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴，y轴或 z轴的线段，并使它们和所画坐标 轴 的 位 置 关 系 与 已 知 图 形 中 相 应 线 段 和 原 坐 标 轴 的_相同已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中_，平行于 y 轴的线段，长度为_画图完成后，擦去作为辅助线的_就得到了空间图形的直观图位置关系保持长度不变原来的一半坐标轴3中心投影一个点光源把一个图形
4、照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的_空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行直线可能变成了相交直线，所以，在立体几何中很少用中心投影原理来画图，但投影后的图形直观性强，看起来与人的视觉效果一致，所以常用在绘画中，即画实际效果图中心投影1下面说法中正确的是()A水平放置的正方形的直观图可能是梯形B两条相交的直线的直观图可能是平行直线C互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形答案：D2水平放置的ABC 有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正ABC，则ABC 为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D以上都有可能解析：直观图是正三角形
5、，三角形的底角为 60，大于 45，原图中则有一个角大于 90，是钝角三角形答案：C3关于直观图的斜二测画法，以下说法不正确的是()A原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x轴，长度不变B原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y轴，长度变为原来的12C画与直角坐标系 xOy 对应的 xOy时，xOy必须是 45D在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同答案：C典例精析 规律总结课堂互动探究1平行投影与中心投影的概念和性质类型 下列说法正确的是_直线或线段的平行投影仍为直线或线段；与投射面平行的平面图形，其平行投影与这个图形一定全等；平行四边形的平行投影可能是矩形；
6、两平行直线的平行投影一定平行；如果一条长为 2 米的线段，其平行投影为 1 米，则长为 10 米的线段，其平行投影的长为 5 米【分析】由已知图形经平行投影后所得投影的判定应根据投射面、投射线及图形的位置综合考查【解析】因为当直线或线段与投射线平行时，其平行投影为一个点，故不正确；正确；因为经平行投影后的角度可以改变，平行性不变，故平行四边形的平行投影可能是矩形，故正确；因为两平行直线的平行投影可能是一条直线或两个点，故不正确；因为中的两线段不一定平行，故不正确【答案】【知识点拨】平行投影与中心投影的区别(1)中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行(2)如果一个平面图形所在平面与投
7、影面平行，则中心投影后得到的图形与原图形相似，经平行投影后，得到的图形与原图形的形状大小完全相同(3)画实际效果图时，一般用中心投影法，画空间图形的直观图时，一般用平行投影法 如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法正确的是()A内心的平行投影还是内心B重心的平行投影还是重心C垂心的平行投影还是垂心D外心的平行投影还是外心解析：三角形的重心是中线的交点，三角形平行投影后各边的中点位置不会变，故其中线的交点，即重心仍是三角形的重心，故选 B答案：B2水平放置的平面图形的直观图类型 用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图【分析】解答本题要严格按照斜二测画法的步骤来做【解】画法：(1)
8、在已知的正五边形 ABCDE 中，取正五边形的中心 O 为坐标原点，对称轴 FA 为 y 轴，过 O 作与 y 轴垂直的直线为 x 轴分别过点 B，E 作 BGOy，EHOy，与 x轴分别交于 G，H.画对应的 Ox，Oy，使xOy45.(2)以点 O为中点，在 x轴上取 GHGH，分别过 G，H在 x轴的上方作 GBOy，HEOy，并使 GB12GB，HE12HE；在 y轴正半轴上，取 OA12OA，在 y轴的负半轴上，取 OF12OF，并以点 F为中点画 CDOx，且 CDCD.(3)连接 AB，BC，DE，EA，所得的五边形 ABCDE就是正五边形 ABCDE 的直观图【知识点拨】(1)
9、在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点(2)在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较好办，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴的平行线段与坐标轴相交，然后先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同 已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中 BOCO1，AO32，那么原ABC 是一个()A等边三角形B直角三角形C三边中有两边相等的等腰三
10、角形D三边互不相等的三角形解析：还原ABC 的直观图，如图所示，其中 BOCO1，AO2AO 3，ACAB 312，ABC 是等边三角形，故选 A答案：A3空间几何体的直观图类型 画出底面边长为 1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为 1.5 cm 的四棱锥的直观图【分析】由题目可获取以下信息：此几何体底面是正方形；顶点在底面的射影应为底面的中心解答本题可先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二测画法的规则及步骤画出直观图【解】画法：(1)画轴画 Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴，xOy45(或 135)，xOz90，如图所示(2)画底面以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形的直观图 AB
11、CD，使 AB1.2 cm.(3)画顶点在 Oz 轴上截取 OP，使 OP1.5 cm.(4)成图连接 PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图所示【知识点拨】画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴此题也可以把 A，B，C，D 放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定 用斜二测画法画一个底面边长为 4 cm，高为 6 cm 的正六棱柱的直观图解：(1)画轴：画 x轴，y轴，z轴，记坐标原点为 O，如图所示；(2)画底面：在 xOy平面上画边长为 4 cm 的正六边形的直观图 ABCDEF；(3)画
12、侧棱：过点 A，B，C，D，E，F 分别作 z轴的平行线，并在这些平行线上截取 AA，BB，CC，DD，EE，FF，使它们都等于 6 cm；(4)成图：顺次连接 A，B，C，D，E，F，A，去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线，就得到了正六棱柱的直观图，如图所示即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 斜二测画法1关于斜二测画法画直观图说法不正确的是()A在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D斜二测坐标系取的角可能是 135答案：C知识点二 平面图形的直观图2如图，OAB是水平放置的OAB 的直
13、观图，AO6，BO2，则OAB 的面积是()A3 2 B6 C6 2 D12解析：由题可得OAB 的图形，如图所示其中|OA|6，|OB|4，SOAB12|OA|OB|126412.故选 D答案：D3.如图，正方形 OABC的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是()A8 cm B6 cmC2(1 3)cm D2(1 2)cm解析：将直观图还原如图所示：OAOA1，OB2OB2 2.AB OA2OB23，四边形 OABC 的周长为 OAABBCCO13138(cm)，故选 A答案：A4对于一个底边在 x 轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的_倍解析：设三角形的高为 h，底边为 a，采用斜二测画法后，所得三角形的底边为 a，高为h2sin45 24 h，S 直12a 24 h 24 S 原答案：245一几何图形的直观图为等腰梯形，其底角为 45，上底边长为 2，腰为 2，则这个几何图形的面积为_解析：将直观图还原如图所示：可知这个几何图形是直角梯形，在 ABCD中，DC2，AD2.作 DEAB交 AB于 E，AE 2.ABAB2AEDC2 22，AD2AD4，所求几何图形的面积为22 222484 2.答案：84 2word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块