1、南宫一中2016届高三上学期期中模拟测试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集U=R，集合 ，则图中的阴影部分表示的集合为 A.(-,1U(2,+) B. C.1，2) D.(1，2【答案】A 【解析】图中的阴影部分表示的集合为,故选 A .2、复数的共轭复数是（ ）A B C D 【答案】D 【解析】复数=i所以复数的的共轭复数是：i故选D3、下列说法中正确的是 （ ）A、若命题有，则有；B、若命题，则；C、若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；D、方程有唯一解的充要条件是【答案】C 【解析】A选项，因为有
2、，所以错误；B选项，因为则或x=1，所以错误；C选项，若，其等价命题为，即是的必要不充分条件，所以正确；D选项，当a=0时，也有唯一解，所以错误，综上知选C.4设是两个非零向量，则“”是“夹角为钝角”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】因为时，夹角为钝角或平角，而夹角为钝角时，成立，所以“”是“夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为（ ）A2014 B2013 C1008 D1007【答案】D 【解析】由程序框图可知，所以选D.6已知是虚数单位，则= （ ） A B C D【答案】B
3、 【解析】因为，所以选B.7已知,点在内，且，设，则等于（ ）A B3 C D【答案】B 【解析】,在x轴方向上的分量为,在y轴方向上的分量为两式相比可得：故选B.8已知实数的取值范围是【答案】C 【解析】由约束条件作可行域如图，联立，解得，A（2，1），联立，解得，令u=2x2y1，则，由图可知，当经过点A（2，1）时，直线在y轴上的截距最小，u最大，最大值为u=222（1）1=5；当经过点时，直线在y轴上的截距最大，u最小，最小值为u=，z=|u|0，5）故选：C9.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个顶点，其中，球心到这个截面的距离为球半径的一半，则该球的表面积为A. B
4、. C. D.【答案】A 【解析】因为,所以三角形ABC外接圆圆心在AC中点处，半径为15，设球半径为R，由球的截面性质得,得,所以该球的表面积为,则选A.10已知，是两条不同直线，是两个不同的平面，且，则下列叙述正确的是 （A）若，则 （B）若，则 （C）若，则 （D）若，则【答案】D【解析】A中m，n可能异面；B中，可能相交；C中可能或，故选D.11. 函数的一个极值点在区间内，则实数的取值范围是（）A B C D【答案】C 【解析】因为，若函数的一个极值点在区间内，则，即(a)(3a)0，解得0a3，所以选C.12已知是椭圆（）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴.若，则该椭圆的离心率是
5、（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】中， 又，得,故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 【答案】 【解析】由三视图可知该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥，因为,则其表面积等于 .14一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 【答案】10 【解析】该几何体为直四棱柱，底面为直角梯形，S=（2+3）2=5，h=2；故V=Sh=52=10故答案为：1015. 已知和分别为数列与数列的前项和，且，（）.则当取得最大值时，的值为_.【答案】4或5 【解析】Sn和Tn分别为数列an与数列bn的前n项和，Sn=eSn+
6、1e5，Sn1=eSne5，n2，相减得出：an=ean+1，=，n2，a1=e4，Sn=eSn+1e5，a2=e3，=数列an是等比数列an=e5n，an=ebn（nN*）bn=lne5n=5nbn+1bn=1数列bn是等差数列Tn=，对称轴n=根据函数的性质得出：n=5，n=4时最大值故答案为：4或516.已知偶函数y= f (x)对于任意的x满足f(x)cosxf(x)sinx0(其中f (x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中成立的有 【答案】 (2) (3) (4) 【解析】偶函数y=f（x）对于任意的x0，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0g（x）=，g（x）=0，
7、x0，），g（x）=是单调递增，且是偶函数，g（）=g（），g（）=g（），g（）g（），即f（f（），（1）化简得出f（）=f（）f（），所以（1）不正确（2）化简f（）f（），得出f（）f（），所以（2）正确又根据g（x）单调性可知：g（）g（0），f（0）f（），偶函数y=f（x）即f（0）f（），所以（3）正确根据g（x）单调性可知g（）g（），f（）f（）所以（4）正确故答案为：（2）（3）（4）三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分） 已知等差数列的各项均为正数， =1，且成等比数列 （I）求的通项公式， （II）设，求数列的前n项和Tn.【答案
8、】 () ;（）. 【解析】()设等差数列公差为，由题意知，因为成等比数列，所以，即所以 4分所以. 6分（）， 8分所以. 12分18、（本小题满分12分）某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，（）求直方图中的值；（）如果上学路上所需时间不少于小时的学生可申请在学校住宿，若招生名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（）从学校的高一学生中任选名学生，这名学生中上学路上所需时间少于分钟的人数记为，求的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）【答案】（）；（）名；（） E(X)
9、=1【解析】（）由直方图可得：所以 （）新生上学所需时间不少于小时的频率为：， 因为，所以1200名新生中有名学生可以申请住宿 （）的可能取值为 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于分钟的概率为，, , 所以的分布列为：01234（或）所以的数学期望为19如图，在四棱锥中，四边形是边长为1的菱形，且，分别是的中点。（I）证明：；（II）求二面角的余弦值。【答案】（I）略；（II） 【解析】（I）取AD的中点G，因为PA=PD，所以PGAD,由题意知ABC是等边三角形，所以BGAD,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，所以AD平面PGB，因为EFPB,DEGB,所以平面DEF平面PGB,所
10、以AD平面DEF;（II）由(1)知PGB为二面角P-AD-B的平面角，在RtPGA中，,在RtBGA中，,在PGB中.20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于 ，它的两个顶点恰好是双曲线的焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）点，在椭圆上，是椭圆上位于直线两恻的动点，若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；当运动时，满足于，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）；直线的斜率是定值【解析】(1）设椭圆的方程为，则.由，得椭圆C的方程为. （2）解：设，直线的方程为， 代入，得 由，解得 由韦达定理得. 四边形的面积当，.解：当，则、的斜率之和为0，设直线的斜率为则的
11、斜率为，的直线方程为 由（1）代入（2）整理得 同理的直线方程为，可得 所以的斜率为定值. 21已知抛物线，直线与抛物线交于两点（）若轴与以为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值【答案】（）；（） 【解析】（）联立，消并化简整理得 依题意应有，解得设，则，设圆心，则应有因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，又 所以 ，解得 所以，所以圆心为故所求圆的方程为（）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（）知，所以，直线：整理得，点到直线的距离 ， 所以 令，由上表可得的最大值为 所以当时，的面积取得最大值22（本小题满分10分）已知，对，恒成立，求的取值范围【答案】-7x11 【解析】 a0，b0 且 +=(a+b)( +)=5+9，故+的最小值为9，5分因为对a，b(0，+)，使+2x-1-x+1恒成立，所以，2x-1-x+19， 7分当 x-1时，2-x9， -7x-1，当 -1x时，-3x9， -1x，当 x时，x-29， x11， -7x11 10分
