1、章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的设xy0，则的最小值为()A9B9C10 D0解析：选B.9.用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()A12 B12C12 D12解析：选A.n2，第一步应是n2时，12.设00)的最大值是()A10 B10C11 D11解析：选A.y22210.用数学归纳法证明“对于任意x0的正整数n，都有xnxn2xn4n1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为()An01 Bn02Cn01，2 D以上答案均不正确解析：选A.nN
2、，n的最小值为n01.若x2y4z1，则x2y2z2的最小值是()A21 BC16 D解析：选B.1x2y4z，x2y2z2，即x2y2z2的最小值为.设S(n)，则()AS(n)共有n项，当n2时，S(2)BS(n)共有n1项，当n2时，S(2)CS(n)共有n2n项，当n2时，S(2)DS(n)共有n2n1项，当n2时，S(2)解析：选D.S(n)共有n2n1项，当n2时，S(2).若Axxx，Bx1x2x2x3xn1xnxnx1，其中x1，x2，xn都是正数，则A与B的大小关系为()AAB BAn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2 B3C5 D6答案
3、：C设a1，a2，an为正实数，P，Q，则P、Q间的大小关系为()APQ BPQCPQ DPQ解析：选B.(a1a2an),sdo4(n个)n2，即PQ.设x1，x2，xn取不同的正整数，则m的最小值是()A1B2C1D1解析：选C.设a1，a2，an是x1，x2，xn的一个排列，且满足a1a2，所以a11123n1.二、填空题：本题共4小题，每小题5分观察下式：112；23432；3456752；4567891072；，则可得出第n个式子为_解析：各式的左边是第n个自然数到第(3n2)个连续自然数的和右边是奇数的平方，故可得出第n个式子是n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2答案：n(n1
4、)(n2)(3n2)(2n1)2已知a，b是给定的正数，则的最小值是_解析：(sin2xcos2x)(ab)2.答案：(ab)2已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x，y，z，则x，y，z所满足的关系式为_，x2y2z2的最小值是_解析：利用三角形面积相等，得2(xyz)(2)2，即xyz3；由(111)(x2y2z2)(xyz)29，则x2y2z23.答案：xyz33有以下四个命题：(1)2n2n1(n3)；(2)2462nn2n2(n1)；(3)凸n边形内角和为f(n)(n1)(n3)；(4)凸n边形对角线条数f(n)(n4)其中满足“假设nk(kN，kn0)时命题成
5、立，则当nk1时命题也成立”但不满足“当nn0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是_解析：当n取第一个值时经验证(2)、(3)、(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设nk(kN，kn0)时命题成立，则当nk1时命题不成立所以(2)、(3)正确答案：(2)(3)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本小题满分10分)设x22y21，求u(x，y)x2y的最值解：由柯西不等式得|u(x，y)|1xy|，得umax，umin.分别在，时取到(本小题满分12分)设a，b，c(0，)，利用排序不等式证明：a2ab2bc2cabcbcacab.证明：设abc0，则
6、lgalgblgc，algablgbclgcblgaclgbalgc，algablgbclgcclgaalgbblgc.2alga2blgb2clgc(bc)lga(ac)lgb(ab)lgc，lg(a2ab2bc2c)lg(abcbaccab)，故a2ab2bc2cabcbcacab.(本小题满分12分)当x0时，试证明xx.证明：要证明xx，只要证明xx，即xx.由x0有x11，所以由贝努利不等式可得1(x1)1(x1)，因此xx，原不等式xx成立(本小题满分12分)求证：平面上通过同一点的n条直线分平面为2n个部分证明：(1)当n1时，一条直线把平面分成两部分，而f(1)2，命题成立(2
7、)假设当nk(k1)时命题成立，即k条直线把平面分成f(k)个部分则当nk1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k1段，每一段把它所在的平面区域分为两部分，故新增加了k1个平面部分f(k1)f(k)k1k1.当nk1时命题也成立由(1)(2)可知当nN时，命题成立(本小题满分12分)已知yf(x)满足f(n1)f(n)lgan1(n2，nN)，且f(1)lga，是否存在实数、，使f(n)(n2n1)lga，对任何nN都成立？证明你的结论解：f
8、(n)f(n1)lgan1.令n2，f(2)f(1)lgalgalga0.又f(1)(1)lga，解得，.f(n)(n2n1)lga.下证对任何nN都成立(1)当n1时，显然成立(2)假设当nk(k1)时成立，即f(k)(k2k1)lga，则nk1时，f(k1)f(k)lgakf(k)klga(k2k1k)lga(k1)2(k1)1lga，当nk1时等式成立，综合(1)、(2)知存在、且，使f(n)(n2n1)lga对任意nN都成立22(本小题满分12分)记fn(x，y)(xy)n(xnyn)，其中x，y为正实数，nN.给定正实数a，b满足a.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，fn(a，b)fn(2，2)证明：欲证不等式为(ab)nanbn22n2n1.(*)(1)当n1时，不等式(*)左边0，右边0，不等式(*)成立(2)假设当nk(kN)时，不等式(*)成立，即(ab)kakbk22k2k1.由a0，b0及a，得abab.因为a0，b0，所以ab2，从而ab4，abab4.进而akbabk222k2，则当nk1(kN)时，(ab)k1ak1bk1(ab)(ab)kakbkakbabk4(ab)kakbk2k24(22k2k1)2k222(k1)2(k1)1，所以当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对nN，不等式(*)成立，即原不等式成立