1、第三节平面向量的数量积与平面向量的应用举例课标要求考情分析1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.1.本节是高考中的重点考查内容，涉及数量积的运算，投影，模(长度)与夹角等多方面内容2命题形式多种多样，以选择题，填空题为主，属中低档题，常与三角，平面几何，解析几何等相结合考查.知识点一平面向量数量积的定义及几何意义1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两
2、个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积知识点二向量数量积的运算律1abba.2(a)b(ab)a(b)3(ab)cacbc.向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线知识点三平面向量数量积的性质设a(x1，y1)，b(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|a|夹角coscosab的
3、充要条件ab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个向量的夹角的范围是.()(2)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)ab0，则a与b的夹角为锐角；ab0，则a与b的夹角为锐角或零角；ab0)，则B(4,0)，C(2，t)，E，所以()(4,0)(4,0)20，故选D.【答案】D命题方向2向量数量积的几何意义【例2】在ABC中，AB10，BC6，CA8，且O是ABC的外心，则()A16B32 C16D32【解析】解法1：由题意得AB2BC2CA2，所以ABC为直角三角形，
4、则点O为斜边AB的中点，所以|cosBAC|232，故选D.解法2：由题意得AB2BC2CA2，所以ABC为直角三角形，则点O为斜边AB的中点，所以在上的投影为4，则4|32，故选D.【答案】D方法技巧平面向量数量积的计算方法(1)已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos求解.(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解.(3)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算.1(方向1)(2019全国卷)已知(2,3)，(3，t)，|1，则(C)A3B2C2D3解析：因为(1，t3)，所以|1，解得t3，所以(1,0)，所以21302，故选
5、C.2(方向1)在ABC中，AB3，AC2，BAC120，点D为BC边上一点，且2，则(C)A. B. C1 D2解析：解法1：2，2()，则232321，故选C.解法2：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示则A(0,0)，B(3,0)，C(1，)，2，(4，)，则D，(3,0)，则301，故选C.3(方向2)已知向量a(，1)，b(3，)，则向量b在向量a方向上的投影为(A)A B. C1 D1解析：设向量a与b的夹角为，向量b在向量a方向上的投影为|b|cos.考点二平面向量数量积的性质应用命题方向1平面向量的模【例3】(1)已知向量a(1，)，|b|3，且a与
6、b的夹角为，则|2ab|()A5 B. C7 D37(2)已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ABCD，ADC90，若点M在线段AC上，则|的取值范围为_【解析】(1)a(1，)，|a|2，|b|3，a与b的夹角为，ab3，|2ab|24a24abb21612937，|2ab|，故选B.(2)建立如图所示的平面直角坐标系则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设(01)，则M(，2)，故(，22)，(2，2)，则(22，24)，|，当0时，|取得最大值2，当时，|取得最小值，|.【答案】(1)B(2)命题方向2平面向量夹角问题【例4】(1)(2019全国卷)已知非零向
7、量a，b满足|a|2|b|，且(ab)b，则a与b的夹角为()A. B. C. D.(2)已知a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，则a与ab的夹角为_【解析】(1)设a与b的夹角为.因为(ab)b，所以(ab)babb20，所以abb2，所以cos.又a与b的夹角的取值范围为0，所以a与b的夹角为，故选B.(2)设a与ab的夹角为，由|a|b|得|a|2|b|2，又由|b|ab|得|b|2|ab|2，则ab|a|2，|ab|2|a|22ab|b|23|a|2，|ab|a|.cos.又知0，.【答案】(1)B(2)命题方向3垂直问题【例5】(1)已知非零向量m，n满足3|m|2|n|，它们
8、的夹角60.若n(tmn)，则实数t的值为()A3 B3 C2 D2(2)平面四边形ABCD中，0，()0，则四边形ABCD是()A矩形 B正方形 C菱形 D梯形【解析】(1)由题意得cos.n(tmn)，n(tmn)tmnn2t|m|n|n|2|n|2|n|20，解得t3.故选B.(2)因为0，所以，所以四边形ABCD是平行四边形又()0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD是菱形【答案】(1)B(2)C1(方向1)已知非零向量a，b满足ab0，|a|3，且a与ab的夹角为，则|b|(D)A6B3C2 D3解析：ab0，|a|3，a(ab)a2ab|a|ab|cos，|ab|3，将|
9、ab|3两边平方可得，a22abb218，解得|b|3，故选D.2(方向1)已知向量a，b为单位向量，且ab，向量c与ab共线，则|ac|的最小值为(D)A1 B.C. D.解析：向量c与ab共线，可设ct(ab)(tR)，ac(t1)atb，(ac)2(t1)2a22t(t1)abt2b2，向量a，b为单位向量，且ab，(ac)2(t1)2t(t1)t2t2t1，|ac|，|ac|的最小值为，故选D.3(方向2)(2019全国卷)已知a，b为单位向量，且ab0，若c2ab，则cosa，c.解析：设a(1,0)，b(0,1)，则c(2，)，则cosa，c.4(方向3)已知向量与的夹角为120，
10、且|3，|2.若，且，则实数的值为.解析：由，知0，即()()(1)22(1)32940，解得.“两法”搞定向量模的最值问题【典例】已知向量a，b满足|a|4，b(ab)0.若|ab|的最小值为2(R)，则ab的值为()A0 B4C8 D16【解析】解法1：利用|a|2a2，求|ab|的最小值|ab|2(ab)2a222(ab)b2.因为|a|4，所以a216.因为b(ab)0，所以b2ab.于是|ab|21622(ab)ab162ab(ab)2，所以|ab|2的最小值为ab(ab)24，解得ab8.解法2：利用|ab|的几何意义如图，设a，b，则ab.因为b(ab)0，所以OBBA.设a，则
11、点P是直线OA上的动点，过点B作BCOP，垂足为C，则|ab|，即|ab|的最小值为|2.又|a|4，所以BC是RtOAB的斜边OA上的中线，故|b|2.从而abb28.【答案】C【素养解读】(1)本例的实质是定直线外的定点到定直线上的动点的距离的最值问题(2)解决与向量的模有关的问题，常见的策略有：利用|a|2a2；利用向量的模的几何意义已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为(B)A6 B7C8 D9解析：解法1：由圆周角定理及ABBC，知AC为圆的直径故2(4,0)(O为坐标原点)设B(cos，sin)，(cos2，sin)，(cos6，sin)，|7，当且仅当cos1时取等号，此时B(1,0)，故|的最大值为7.故选B.解法2：由圆周角定理及ABBC，知AC为圆的直径故2(O为坐标原点)，又，|3|3|3217，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为(1,0)，故|max7.故选B.