1、2015-2016学年吉林省松原市扶余一中高二（下）期末数学试卷（理科）一选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合要求）1已知z=（m+3）+（m1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A（3，1）B（1，3）C（1，+）D（，3）2函数f（x）=（2x）2的导数是（）Af（x）=4xBf（x）=42xCf（x）=82xDf（x）=16x3若f（x）=2xf（1）+x2，则f（0）等于（）A2B0C2D44在的展开式中的常数项是（）A7B7C28D285从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件
2、B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD6用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的7随机变量的分布列为P（=k）=，k=1、2、3、4，c为常数，则P（）的值为（）ABCD8已知随机变量服从正态分布N（2，2），且P（4）=0.8，则P（02）=（）A0.6B0.4C0.3D0.29曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积是（）ABC1D10若（x2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A1B31C33D3111曲线f（x）=a
3、xn（a，nR）在点（1，2）处的切线方程是y=4x2，则下列说法正确的是（）A函数f（x）是偶函数且有最大值B函数f（x）是偶函数且有最小值C函数f（x）是奇函数且有最大值D函数f（x）是奇函数且有最小值12设函数f（x）的导函数为f（x），若对任意xR，都有f（x）f（x）成立，则（）Af（ln2015）2015f（0）Bf（ln2015）=2015f（0）Cf（ln2015）2015f（0）Df（ln2015）与2015f（0）的大小关系不确定二填空题（共20分，每小题5分，答案要准确的填在答题纸的规定位置）13过函数f（x）=x33x2+2x+5图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜
4、角的范围是14如图，用A、B、C、D表示四类不同的元件连接成系统M当元件A、B至少有一个正常工作且元件C、D至少有一个正常工作时，系统M正常工作已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为0.5、0.6、0.7、0.8则元件连接成的系统M正常工作的概率P（M）=15已知函数f（x）=x36x2+9x+m，若存在abc满足，f（a）=f（b）=f（c）=0，则实数m的取值范围是16若函数f（x）=x2+2x+alnx在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是三解答题（共70分，在解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=x（x+a）lnx，其中a为常数（1）当a=1时，求f
5、（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围18“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：价格x55.56.57销售量y121064通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系（）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；（）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？注：在回归直线y=中， = =146.519某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为假设他不放弃每次考试机会，且
6、每次考试互不影响（I）求甲恰好3次考试通过的概率；（II）记甲参加考试的次数为，求的分布列和期望20大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如表：阅读过莫言的作品数（篇）0252650517576100101130男生36111812女生48131510（1）试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；（2）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”根据题意完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下，认为对莫言作品非常了解与性别有关？非常了解一般了解合计男生女生合
7、计附：K2=，n=a+b+c+dP（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.63521已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于
8、点E，且CB=CE（）证明：D=E；（）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：ADE为等边三角形选修4-4：坐标系与参数方程23选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（其中为参数），M是曲线C1上的动点，且M是线段OP的中点，（其中O点为坐标原点），P点的轨迹为曲线C2，直线l的方程为sin（+）=，直线l与曲线C2交于A，B两点（1）求曲线C2的普通方程；（2）求线段AB的长选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+2|x+a|（1）当a=3时，解不等式f（x）；（2）若关于x的不等式f（x）a解集为R，求a的取值范围2015-2016学年吉林省松原市扶
9、余一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合要求）1已知z=（m+3）+（m1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A（3，1）B（1，3）C（1，+）D（，3）【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可【解答】解：z=（m+3）+（m1）i在复平面内对应的点在第四象限，可得：，解得3m1故选：A2函数f（x）=（2x）2的导数是（）Af（x）=4xBf（x）=42xCf（x）=82xDf（x）=16x【考点】导数的运算【分析】利用复合
10、函数的求导法则：外函数的导数乘以内函数的导数，求出f（x）【解答】解：f（x）=2（2x）（2x）=82x故选C3若f（x）=2xf（1）+x2，则f（0）等于（）A2B0C2D4【考点】导数的运算【分析】利用导数的运算法则求出f（x），令x=1得到关于f（1）的方程，解方程求出f（1），求出f（x）；令x=0求出f（0）【解答】解：f（x）=2f（1）+2xf（1）=2f（1）+2f（1）=2f（x）=4+2xf（0）=4故选D4在的展开式中的常数项是（）A7B7C28D28【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式的常数项【解答】解：展
11、开式的通项为令故选A5从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）ABCD【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解【解答】解：P（A）=，P（AB）=由条件概率公式得P（B|A）=故选：B6用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的【考点】演绎推理的基本方法【分析】要分析一个演绎推理是否
12、正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论【解答】解：任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0故选A7随机变量的分布列为P（=k）=，k=1、2、3、4，c为常数，则P（）的值为（）ABCD【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，根据它们的概率之和为1，求出c的值，进而求出P（）的值【解答】解：随机变量的分布列为P（=k）=，k=1、2、3、4，c为常数故P（=1）+P（=2）+P（=3）+P（=4）=1即+=1，c=P（）=P（=1）+P
13、（=2）=故选B8已知随机变量服从正态分布N（2，2），且P（4）=0.8，则P（02）=（）A0.6B0.4C0.3D0.2【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据随机变量X服从正态分布N（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到P（02）=P（04），得到结果【解答】解：随机变量X服从正态分布N（2，2），=2，得对称轴是x=2P（4）=0.8P（4）=P（0）=0.2，P（04）=0.6P（02）=0.3故选C9曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积是（）ABC1D【考点】定积分【分析】求曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积，首先
14、求出两曲线交点的横坐标0、1，然后求在区间0，1上的积分【解答】解：联立得x1=0，x2=1，所以曲线y=x2和曲线y2=x围成的图形面积S=故选A10若（x2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a1+a2+a3+a4+a5=（）A1B31C33D31【考点】二项式系数的性质【分析】由（x2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，分别令x=0，1，即可得出【解答】解：由（x2）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，分别令x=0，1，可得：（2）5=a0，（12）5=a1+a2+a3+a4+a5+a0则a1+a2+a3+a4+a5
15、=1（32）=31故选：B11曲线f（x）=axn（a，nR）在点（1，2）处的切线方程是y=4x2，则下列说法正确的是（）A函数f（x）是偶函数且有最大值B函数f（x）是偶函数且有最小值C函数f（x）是奇函数且有最大值D函数f（x）是奇函数且有最小值【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的判断【分析】求导数，利用f（x）=axn（a，nR）在点（1，2）处的切线方程是y=4x2，求出a，n，即可得出结论【解答】解：曲线f（x）=axn，f（x）=naxn1，f（x）=axn（a，nR）在点（1，2）处的切线方程是y=4x2，na=4，a=2，n=2，f（x）=2x2，函数f（x）
16、是偶函数且有最小值0，故选：B12设函数f（x）的导函数为f（x），若对任意xR，都有f（x）f（x）成立，则（）Af（ln2015）2015f（0）Bf（ln2015）=2015f（0）Cf（ln2015）2015f（0）Df（ln2015）与2015f（0）的大小关系不确定【考点】导数的运算【分析】构造函数g（x）=，利用导数可判断g（x）的单调性，由单调性可得g（ln2015）与g（0）的大小关系，整理即可得到答案【解答】解：令g（x）=，则g（x）=，因为对任意xR都有f（x）f（x），所以g（x）0，即g（x）在R上单调递增，又ln20150，所以g（ln2015）g（0），即，所以
17、 f（ln2015）2015f（0），故选：C二填空题（共20分，每小题5分，答案要准确的填在答题纸的规定位置）13过函数f（x）=x33x2+2x+5图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是0，），）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求【解答】解：由y=f（x）=x33x2+2x+5，得y=3x26x+2，设函数f（x）=x33x2+2x+5图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为（0），则y=3x026x0+2=3（x1）211，tan1，0或函数f（x）=x33x2+2x+5图
18、象上任一点的切线的倾角的取值范围是0，），）故答案为：0，），）14如图，用A、B、C、D表示四类不同的元件连接成系统M当元件A、B至少有一个正常工作且元件C、D至少有一个正常工作时，系统M正常工作已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为0.5、0.6、0.7、0.8则元件连接成的系统M正常工作的概率P（M）=0.308【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式【分析】根据对立事件概率间的关系，分别求出前一个系统AB正常的概率、后一个系统CD正常的概率，再相乘，即得所求【解答】解：前一个系统AB正常的概率为10.50.6=0.7，后一个系统CD正常的概率为10.70.8=0.
19、44，故这2个系统都正常的概率为 0.70.44=0.308故答案为：0.30815已知函数f（x）=x36x2+9x+m，若存在abc满足，f（a）=f（b）=f（c）=0，则实数m的取值范围是（4，0）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】利用导数判断函数的单调性，依题意有，函数f（x）=x36x2+9x+m的图象与x轴有三个不同的交点，f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），故f（1）f（3）0，解得m的取值范围即可【解答】解：因为f（x）=x36x2+9x+m，所以f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），令f（x）=0，得x=1或x=3依题意有，函数f（x）=
20、x36x2+9x+m的图象与x轴有三个不同的交点，故f（1）f（3）0，即（16+9+m）（33632+93+m）0，所以4m0故答案为（4，0）16若函数f（x）=x2+2x+alnx在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是a4【考点】二次函数的性质【分析】由函数f（x）在（0，1）上单调递增，可得f（x）0在（0，1）上恒成立即2x+2+0，x（0，1）a（2x22x）min，x（0，1）利用二次函数的单调性求出即可【解答】解：f（x）=2x+2+（x0）函数f（x）在（0，1）上单调递减，f（x）0在（0，1）上恒成立2x+2+0，x（0，1）a（2x22x）min，x（0，1）令g
21、（x）=2x22x=2（x+）2+，图象为抛物线，开口向下，对称轴为x=，则g（x）在（0，1）单调递减g（x）g（1）=4a4，故答案为：a4三解答题（共70分，在解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）=x（x+a）lnx，其中a为常数（1）当a=1时，求f（x）的极值；（2）若f（x）是区间内的单调函数，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出函数的导数，得到或f（1）0，解出即可【解答】解：（1）当a=1时，所以f（x）在区间（0，1）内单调递减，
22、在（1，+）内单调递增于是f（x）有极小值f（1）=0，无极大值（2）易知在区间内单调递增，所以由题意可得在内无解即或f（1）0解得实数a的取值范围是（，11，+）18“奶茶妹妹”对某时间段的奶茶销售量及其价格进行调查，统计出售价x元和销售量y杯之间的一组数据如下表所示：价格x55.56.57销售量y121064通过分析，发现销售量y对奶茶的价格x具有线性相关关系（）求销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程；（）欲使销售量为13杯，则价格应定为多少？注：在回归直线y=中， = =146.5【考点】线性回归方程【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把y=13代入回归方程计算x【解答】解
23、：（） =6， =8=512+5.510+6.56+74=182，=52+5.52+6.52+72=146.5，=4， =8+46=32销售量y对奶茶的价格x的回归直线方程为=4x+32（）令4x+32=13，解得x=4.75答：商品的价格定为4.75元19某企业招聘中，依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为，每次考B科合格的概率均为假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响（I）求甲恰好3次考试通过的概率；（II）记甲参加考试的次数为，求的分布列和期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的
24、概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列【分析】设甲“第一次考A科成绩合格”为事件A1，“A科补考后成绩合格”为事件A2，“第一次考B科成绩合格”为事件B1，“B科补考后成绩合格”为事件B2（）甲参加3次考试，是指补考一次，且合格；（）确定可能取得的值，求出相应的概率，进而可得的分布列和期望【解答】解：设甲“第一次考A科成绩合格”为事件A1，“A科补考后成绩合格”为事件A2，“第一次考B科成绩合格”为事件B1，“B科补考后成绩合格”为事件B2（）甲参加3次考试通过的概率为：（）由题意知，可能取得的值为：2，3，4=分布列（如表）234P故20大家知道，莫言是中国首位获
25、得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞某高校文学社从男女生中各抽取50名同学调查对莫言作品的了解程度，结果如表：阅读过莫言的作品数（篇）0252650517576100101130男生36111812女生48131510（1）试估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；（2）对莫言作品阅读超过75篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”根据题意完成下表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下，认为对莫言作品非常了解与性别有关？非常了解一般了解合计男生女生合计附：K2=，n=a+b+c+dP（K2k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.010k00.45
26、50.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635【考点】独立性检验的应用【分析】（1）求出阅读莫言作品在50篇以上的频率，估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率；（2）利用独立性检验的知识进行判断【解答】解：（1）由抽样调查阅读莫言作品在50篇以上的频率为，据此估计该校学生阅读莫言作品超过50篇的概率约为P=（2）非常了解一般了解合计男生302050女生252550合计5545100根据列联表数据得所以没有75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关21已知函数f（x）=alnxax3（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2
27、）处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（）求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】利用导数求函数的单调区间的步骤是求导函数f（x）；解f（x）0（或0）；得到函数的增区间（或减区间），对于本题的（1）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；（2）点（2，f（2）处的切线的倾斜角为45，即切线斜率为1，即f（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t1，2，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围（3）是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等
28、式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解【解答】解：（）当a0时，f（x）的单调增区间为（0，1，减区间为1，+）；当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（0，1；当a=0时，f（x）不是单调函数（）得a=2，f（x）=2lnx+2x3，g（x）=3x2+（m+4）x2g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g（0）=2由题意知：对于任意的t1，2，g（t）0恒成立，所以有：，（）令a=1此时f（x）=lnx+x3，所以f（1）=2，由（）知f（x）=lnx+x3在（1，+
29、）上单调递增，当x（1，+）时f（x）f（1），即lnx+x10，lnxx1对一切x（1，+）成立，n2，nN*，则有0lnnn1，请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE（）证明：D=E；（）设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：ADE为等边三角形【考点】与圆有关的比例线段；弦切角【分析】（）利用四边形ABCD是O的内接四边形，可得D=CBE，由CB=CE，可得E=CBE，即可证明：D=E；（）设BC的中点为N，连接MN，证
30、明ADBC，可得A=CBE，进而可得A=E，即可证明ADE为等边三角形【解答】证明：（）四边形ABCD是O的内接四边形，D=CBE，CB=CE，E=CBE，D=E；（）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MNBC，O在直线MN上，AD不是O的直径，AD的中点为M，OMAD，ADBC，A=CBE，CBE=E，A=E，由（）知，D=E，ADE为等边三角形选修4-4：坐标系与参数方程23选修44：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为（其中为参数），M是曲线C1上的动点，且M是线段OP的中点，（其中O点为坐标原点），P点的轨迹为曲线C2，直线l的方程为sin（+）=，直线l与曲线C2交于A
31、，B两点（1）求曲线C2的普通方程；（2）求线段AB的长【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）把曲线C1的参数方乘化为普通方程，设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标，再把点M的坐标代入C1的普通方程化简可得所求（2）求得直线l的直角坐标方程，求出圆心（0，4）到直线的距离d，利用弦长公式求出线段AB 的值【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（其中为参数），消去参数化为普通方程为 x2+（y2）2=4设点P的坐标为（x，y），由M 是线段OP 的中点，可得点M的坐标为（，）再由M是曲线C1上的动点可得+=4，即 x2+（y4）2=16故曲线C2的普通方程为
32、x2+（y4）2=16（2）直线l 的方程为sin（+）=，即 cos+sin=2，即 x+y2=0由于圆心（0，4）到直线的距离等于d=，圆的半径等于4，线段AB=2=2选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x+2|x+a|（1）当a=3时，解不等式f（x）；（2）若关于x的不等式f（x）a解集为R，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）将a=1代入f（x），得到关于f（x）的分段函数，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，得到|a2|a，解出即可【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=|x+2|x+3|，或或，即或或或或x2，故不等式的解集为：；（2）由x的不等式f（x）a解集为R，得函数f（x）maxa，|x+2|x+a|（x+2）（x+a）|=|2a|=|a2|（当且仅当（x+2）（x+a）0取“=”）|a2|a，或，解得：a12016年8月24日