1、第二节平面向量基本定理及坐标表示课标要求考情分析1.了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.1.本节是高考中的常考内容，涉及平面向量基本定理的应用，向量的坐标表示及坐标运算2命题形式多种多样，题型以选择题、填空题为主，常以创新型的题目出现，属中低档题.知识点一平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底知识点二平面向量的坐标运算1向量加法
2、、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.2向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.知识点三平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底()(2)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(3)在等边三角形ABC中，向量与的夹角为60
3、.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可表示成.()(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变()(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()2小题热身(1)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab(D)A(2，1) B(2,1)C(1,0) D(1,2)(2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量(A)A(7，4) B(7,4)C(1,4) D(1,4)(3)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb与a2b共线，则.(4)向量a，b满足ab(1,5)，ab(5，3)，则b(3,4)(5)在平行四边形AB
4、CD中，a，b，3，M为BC的中点，则ab(用a，b表示)解析：(1)因为a(1,1)，b(1，1)，所以ab(1,1)(1，1)(1,2)(2)根据题意得(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选A.(3)由已知条件有manb(2m,3m)(n,2n)(2mn,3m2n)，a2b(2,3)(2,4)(4，1)，由manb与a2b共线，则有，所以n2m12m8n，所以.(4)由ab(1,5)，ab(5，3)，得2b(1,5)(5，3)(6,8)，所以b(6,8)(3,4)(5)因为3，所以(ab)，又因为ab，所以(ab)ab.考点一平面向量基本定理的应用【例1】如图所示，在ABC中，点M
5、是AB的中点，且，BN与CM相交于点E，设a，b，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab【解析】由题意得b，a，由N，E，B三点共线可知，存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线可知，存在实数n，满足n(1n)na(1n)b，所以mb(1m)ana(1n)b，因为a，b为基底，所以解得所以ab，故选A.【答案】A方法技巧平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来
6、解决.如图，2，2，m，n，若m，那么n等于(C)A. B.C. D.解析：因为2，所以C为AB中点，故2，所以.由m，n，所以，所以，因为M，P，N三点共线，故1，当m时，n.故选C.考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知点M(5，6)和向量a(1，2)，若3a，则点N的坐标为()A(2,0) B(3,6)C(6,2) D(2,0)(2)在ABC中，点P在BC上，且2，点Q是AC的中点，若(4,3)，(1,5)，则_.【解析】(1)3a3(1，2)(3,6)，设N(x，y)，则(x5，y6)(3，6)，所以即(2)(3,2)，2(6,4)(2,7)，3(6,21)【答案】(1)A(2)(
7、6,21)方法技巧平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.1若向量a(2,1)，b(1,2)，c，则c可用向量a，b表示为(A)A.ab BabC.ab D.ab解析：设cxayb，则(2xy，x2y)，所以解得则cab.2已知平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(D)A. B.C. D.解析：(2,3)(3,7)(1,10)，.考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)若A，B，C，D四点共线，且满足(3a
8、,2a)(a0)，(2，t)，则t等于()A. B.C3 D3(2)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.(3)设向量a，b满足|a|2，b(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_【解析】(1)因为A，B，C，D四点共线，所以，故3at2a2，t.故选B.(2)由题意知2m120，m6.(3)因为b(2,1)，且a与b的方向相反，所以设a(2，)(0，b0，若A，B，C三点共线，则的最小值为(C)A4 B6C8 D9解析：(1，2)，(a，1)，(b,0)，(a1,1)，(b1,2)，A，B，C三点共线，即(a1,1)(b1,2)，可得2ab1.a0，b0，(2ab)22428，当且仅当，即a，b时取等号，故的最小值为8，故选C.
