1、第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式3能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题2命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()：cos()coscossinsin.C()：cos()coscossinsin.S()：
2、sin()sincoscossin.S()：sin()sincoscossin.T()：tan()(，k，kZ)T()：tan()(，k，kZ)2二倍角的正弦、余弦、正切公式S2：sin22sincos.C2：cos2cos2sin22cos2112sin2.T2：tan2知识点二三角公式的变形技巧1降幂公式：cos2，sin2.2升幂公式：1cos22cos2，1cos22sin2.3公式变形：tantantan()(1tantan)4辅助角公式：asinxbcosxsin(x)知识点三三角恒等变换1重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同
3、角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等2在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)存在实数，使等式sin()sinsin成立()(2)在锐角ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定()(3)公式tan()可以变形为tantantan()(1tantan)，且对任意角，都成立()(4)公式asinxbcosxsin(x)中的取值与a，b的值无关()解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角
4、公式知(2)(3)(4)是错误的，(1)是正确的2小题热身(1)(2019全国卷)tan255(D)A2 B2C2 D2(2)若sin，则cos2(B)A. B.C D(3)sin347cos148sin77cos58.(4)已知tan()，则tan.(5)计算2.解析：(1)由正切函数的周期性可知，tan255tan(18075)tan75tan(3045)2，故选D.(2)cos212sin212()2.(3)sin347cos148sin77cos58sin(27077)cos(9058)sin77cos58(cos77)(sin58)sin77cos58sin58cos77cos58s
5、in77sin(5877)sin135.(4)解法1：因为tan()，所以，即，解得tan.解法2：因为tan()，所以tantan().(5)2.第1课时两角和与差的三角公式考点一公式的直接运用【例1】(1)sin15cos15的值为()A. BC. D(2)sin415cos415()A. BC. D(3)已知sin()，sin()，则log()2等于()A2B3 C4D5【解析】(1)解法1：sin15cos15sin60，故选A.解法2：sin15cos15.(2)sin415cos415(sin215cos215)(sin215cos215)sin215cos215cos30.故选D
6、.(3)因为sin()，sin()，所以sincoscossin，sincoscossin，所以sincos，cossin，所以5，所以log()2log524.故选C.【答案】(1)A(2)D(3)C方法技巧(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.1已知f(x)tanx，则f的值为(D)A2B.C2D4解析：因为f(x)tanx，所以f4，故选D.2(2019全国卷)已知，2sin2cos21，则sin(B)A. B. C. D.解析：由2
7、sin2cos21，得4sincos12sin21，即2sincos1sin2.因为(0，)，所以cos，所以2sin1sin2，解得sin，故选B.考点二公式的逆用与变形【例2】(1)已知cos，则cosxcos()A1 B1 C. D.(2)(1tan20)(1tan25)_.【解析】(1)由题可知，cosxcoscosxcosxcossinxsincosxsinxcos1.故选B.(2)方法1：(配凑法)由题意知，(1tan20)(1tan25)1tan20tan25tan20tan25.因为tan45tan(2025)1，所以tan20tan251tan20tan25.所以(1tan2
8、0)(1tan25)1tan20tan25tan20tan252.方法2：(切化弦)原式(1)(1)2.【答案】(1)B(2)2方法技巧1.cos375sin375的值为(A)A. B. C D解析：cos375sin375cos15sin15cos(4515)cos30.故选A.2(1tan20)(1tan21)(1tan24)(1tan25)4.解析：(1tan20)(1tan25)1tan20tan25tan20tan251tan(2025)(1tan20tan25)tan20tan252，同理可得(1tan21)(1tan24)2，所以原式4.考点三角的变换【例3】(1)已知，coss
9、in，则sin的值是()A B C. D(2)已知sin，sin()，均为锐角，则()A. B. C. D.【解析】(1)由cossin，得coscossinsinsin，即cossin，cossin，即cos.，sin，sinsinsincos，故选B.(2)因为sin，sin()，且，均为锐角，所以cos，cos()，所以sinsin()sincos()cossin()，所以.故选C.【答案】(1)B(2)C方法技巧1若0，0，cos，cos，则cos(A)A. B C. D解析：由题可知，所以sin，sin，所以coscoscoscossinsin.故选A.2已知，cos()，sin()，则sin2(B)A. BC. D解析：因为，所以0，由cos()，得sin()，由sin()，得cos()，则sin2sin()()sin()cos()cos()sin()，故选B.