1、第二节 参 数 方 程 1.参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的 坐标x,y都是某个变数t的函数_并且对于t的每一个 允许值，由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那 么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变 数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程 F(x，y)0叫做普通方程.xf(t),yg(t)，2.直线、圆、椭圆的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y-y0=tan(x-x0)(点斜式)_ _(t为参数)圆(x-a)2+(y-b)2=r2 (r0)_ _(为参数)椭圆 (ab0)_
2、 _(为参数)22222xy1abxyx0+tcos,y0+tsin xya+rcos,b+rsin.xyacos,bsin.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)曲线的参数方程中的参数都有实际意义.()(2)参数方程与普通方程互化后表示的曲线是一致的.()(3)圆的参数方程中的参数与椭圆的参数方程中的参数的 几何意义相同.()(4)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不惟一.()【解析】(1)错误.曲线的参数方程中的参数，可以具有物理意义，可以具有几何意义，也可以没有明显的实际意义.(2)错误.把普通方程化为参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不
3、一致.(3)错误.圆的参数方程中的参数表示半径的旋转角，而椭圆的参数方程中的参数表示对应的大圆或小圆半径的旋转角，即离心角.(4)正确.用参数方程解决转迹问题，若选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式就不同.答案：(1)(2)(3)(4)考向 1 直线的参数方程与应用【典例1】已知直线的参数方程 (t为参数)，(1)求直线与y轴的交点坐标(2)求直线的倾斜角.【思路点拨】(1)令x=0,求参数的值代入y计算.(2)将直线的参数方程化为普通方程，利用直线的斜率求倾斜角，也可以将直线的参数方程化为标准形式再确定直线的倾斜角.x1t,y23t 【规范解答】(1)令x=0,得t=1,代入 所
4、以直线与y轴的交点坐标为(2)方法一:直线 (t为参数)的普通方程为 斜率 即 又0，)，故直线的倾斜角为 y23t32,0,32.x1t,y23t y3x32 ，k3，tan 3 ，2.3 方法二:直线 (t为参数)，即直线 (t为参数)，令t=2t，得 所以直线的倾斜角为 x1t,y23t 1x12t,23y2(2t)2 2x1t cos,32y2t sin 3 ，2.3【互动探究】本例中条件不变，M0(1，-2)，当参数t=1时对应 直线上的点为M,求|MM0|.【解析】本例中，M0(1，-2)为直线上的点，当参数t=1时对应 直线上的点为 则|MM0|=2.M 0,23，【拓展提升】直
5、线的参数方程的标准形式的应用 设过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是 x=x0+tcos,y=y0+tsin.若M1,M2是l上的两点，其对应参数分别为t1,t2，则(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos,y0+t1sin)，(x0+t2cos,y0+t2sin).(t是参数)(2)|M1M2|=|t1-t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则 中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=|.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1+t2=0.12ttt2，12tt2【变式备选】直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)，直线l与直线2x+y-
6、2=0交于点Q，求|PQ|与PQ中点 的坐标.【解析】方法一:将直线l的参数方程化为普通方程为y=3-x，代入2x+y-2=0得点Q的坐标为(-1,4)，|PQ|=PQ中点的坐标为(0,3).x 1ty2t ，2 2，方法二:将直线l的参数方程化为标准形式为 代入2x+y-2=0得t=|PQ|=|t|=点P,Q对应的参数分别为0,2，所以中点对应的参数为1，所以 PQ中点的坐标为(0,3).2x1t,22y2t,2 2 2，2 2.考向 2 圆的参数方程与应用【典例2】已知直线的极坐标方程为 圆M的参数 方程为 (其中为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)求圆M上的点到直线
7、的距离的最小值.【思路点拨】(1)利用三角函数恒等式化简后得到直线的直角 坐标方程.(2)利用直线与圆的位置关系以及几何性质计算最小值.2sin()42，x2cos,y22sin 【规范解答】(1)sin+cos=1，所以直线的直角坐标方程为x+y-1=0.(2)圆M的普通方程为x2+(y+2)2=4，圆心M(0,-2)到直线x+y-1=0的距离 所以直线与圆相离，圆M上的点到直线的距离的最小值为 2sin()42，22sin cos,22 02 13 2dr222，3 22.2【拓展提升】直线与圆的位置关系(1)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的普通 方程联立所得的一元二次方程
8、的根的判别式为，则 (2)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的距离的最大值为 d+r，最小值为d-r.位置关系 几何性质 判别式 相交 dr 0 相切 d=r=0 相离 dr 0【提醒】判断直线与圆的位置关系有几何法和解析法(即判别 式法)两种，解题时要灵活选取不同的方法.【变式训练】若P(2,-1)为曲线 的弦的中点，求该弦所在直线的普通方程.【解析】曲线 (02)的普通方程为(x-1)2+y2=25,表示圆心为C(1,0)，半径为5的圆，直线CP的斜率 弦所在直线的斜率为1，所以弦所在直线的普 通方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.x1 5cos(02)y5sin ，x1 5cos y5
9、sin ，01k1,1 2 考向 3 椭圆的参数方程与应用【典例3】若点P(x,y)是曲线x2+3y2=3上一点，求x+y的取值范 围.【思路点拨】由椭圆的参数方程化为求三角函数的值域.【规范解答】曲线x2+3y2=3即 由椭圆的参数方程 (为参数，R)，得x+y=cos+sin=2sin(+)，则x+y的取值范围是-2，2.22xy13 ，x3cos,ysin 33【拓展提升】椭圆的参数方程的特点(1)椭圆的参数方程与三角函数的关系密切，解题时要注意角的取值范围.(2)一般地说，如果题目中涉及椭圆上的动点，应考虑用参数方程来表示点的坐标，可使解题目标明确，过程表达清晰，求解方便.【变式训练】
10、(1)椭圆 (ab0)与x轴正方向交于点 A，O为原点，若椭圆上存在点P，使OPAP，求椭圆离心率e的 取值范围.(2)(2012湖南高考改编)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，求a的值.xt1,y1 2t xasin,y3cos 2222xy1ab【解析】(1)设椭圆 (ab0)上的点P的坐标为(acos,bsin)，O(0,0)，A(a,0),由OPAP，得 =0,即(acos,bsin)(acos-a,bsin)=0，得a2cos2-a2cos+b2sin2=0，整理，得e2=(0 )，得 e21，即 e1，所以椭圆离心率
11、的取值范围是 2222xy1abOP AP11 cos 212222(,1).2(2)曲线C1：(t为参数)的普通方程为y=3-2x，与x轴 交点为 曲线C2：(为参数)的普通方程为 其与x轴交点为(-a,0),(a,0)，由a0，曲线C1与曲线C2有一个公共点在x轴上，知 xt1,y1 2t 3,02()，xasin,y3cos 222xy1a9，3a.2考向 4 极坐标方程与参数方程的综合题【典例4】(2012辽宁高考)在直角坐标系xOy中，圆 C1:x2+y2=4，圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别 写出圆C1,C2的极坐标方程，并求出
12、圆C1,C2的交点坐标(用 极坐标表示).(2)求出C1与C2的公共弦的参数方程.【思路点拨】(1)由公式求得极坐标方程，再将极坐标方程联立方程组求交点坐标.(2)将两圆交点的极坐标化为直角坐标，再求公共弦的参数方程.【规范解答】(1)由公式 得x2+y2=2，所以圆C1:x2+y2=4的极坐标方程为=2，圆C2:(x-2)2+y2=4的极坐标方程为=4cos.解 得=2,=所以圆C1,C2的交点的极坐标为(2,)，(2,).xcos,ysin 2,4cos 3，33(2)由(1)知，圆C1,C2的交点的直角坐标为 所以圆C1,C2的公共弦的参数方程为 1,31,3，x1,3t3.yt 【拓展
13、提升】圆与圆的位置关系以及应用(1)两圆的位置关系以及意义(两圆的半径分别为R,r，且Rr,d为圆心距)位置 图 形 几何性质 交点个数 外离 dR+r 0个 外切 d=R+r 1个 位置 图 形 几何性质 交点个数 相交 R-rdR+r 2个 内切 d=R-r 1个 内含 dR-r 0个(2)若圆C1与圆C2外离，圆心距为d,两圆的半径分别为R1,R2，动点A在圆C1上，动点B在圆C2上，则A，B之间距离的最小值为d-R1-R2，最大值为d+R1+R2.(3)若两圆相交，则公共弦所在直线的方程可直接由两圆的直角坐标方程相减得到.【变式训练】在极坐标系中，圆C1的方程为 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标 系，圆C2的参数方程为 (为参数)，若圆C1与 圆C2外切，求实数a的值.4 2cos()4，x1 acos,y1 asin 【解析】圆C1的方程 化为2=即x2+y2-4x-4y=0，其圆心C1(2,2)，半径 圆C2的参数 方程化为普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2，其圆心C2(-1,-1)，半径r2=|a|，因为两圆外切，所以 解得a=4 2cos()4 224 2cos sin 22()，1r2 2,2.12a2 2|C C|3 2,