1、2015年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）复数z=（2i）2在复平面内对应的点所在的象限是（） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【考点】： 复数代数形式的乘除运算【专题】： 数系的扩充和复数【分析】： 利用复数的运算、几何意义即可得出【解析】： 解：复数z=（2i）2=34i在复平面内对应的点（3，4）所在的象限是第四象限故选：D【点评】： 本题考查了复数的运算、几何意义，属于基础题2（5分）已知双曲线离心率是，那么b等于（） A 1 B 2 C D 【考点】：
2、 双曲线的简单性质【专题】： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： 由双曲线离心率是，可得a=2，c=，即可求出b的值【解析】： 解：双曲线双曲线离心率是，a=2，c=，b=1，故选：A【点评】： 本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题3（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（） A B C D 【考点】： 简单空间图形的三视图【专题】： 空间位置关系与距离【分析】： 根据题意，得出该几何体的侧视图是什么，从而得出正确的结论【解析】： 解：根据题意，得；该几何
3、体的侧视图是点A、D、D1、A1在平面BCC1B1上的投影，且NC1是被挡住的线段，应为虚线；符合条件的是B选项故选：B【点评】： 本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目4（5分）设a=1，b=2log3m，那么“a=b”是“”的（） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件【考点】： 必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】： 集合【分析】： 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解析】： 解：若a=b，则2log3m=1，解得，当时，b=2log3m=2log3=log3=1，此时a=b，即“a=b
4、”是“”的充要条件，故选：C【点评】： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据对数的运算法则是解决本题的关键5（5分）已知函数f（x）=那么该函数是（） A 奇函数，且在定义域内单调递减 B 奇函数，且在定义域内单调递增 C 非奇非偶函数，且在（0，+）上单调递增 D 偶函数，且在（0，+）上单调递增【考点】： 分段函数的应用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 运用函数的奇偶性和单调性的定义，注意函数的定义域的运用，加以判断即可得到【解析】： 解：函数f（x）=，定义域关于原点对称，当x0时，x0，f（x）=2x=f（x），当x0时，x0，f（x）=2x=f（x），则有对于xx|xR，
5、x0，都有f（x）=f（x），故f（x）为奇函数，又x0时，f（x）=2x递增，x0时，f（x）=2x递增，又x0时，f（x）0，x0时，f（x）0，由单调性的定义可得f（x）在定义域内为递增函数故选：B【点评】： 本题考分段函数的奇偶性和单调性的判断，主要考查定义法的运用，属于中档题6（5分）将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（） A B C D 【考点】： 函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】： 三角函数的图像与性质【分析】： 由条件根据函数y=Acos（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，可得结论【解析】： 解：将函数y
6、=cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y=cos（x+）的图象；令x+=k，kz，求得x=2k，故所得函数的图象的一条对称轴方程为x=，故选：D【点评】： 本题主要考查函数y=Acos（x+）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题7（5分）李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%，不同的选择方式的种数是（） A 3 B 4 C 5 D 6【考点】： 进行简
7、单的合情推理【专题】： 综合题；推理和证明【分析】： 设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z95，可得x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，即可得出结论【解析】： 解：设3款运动袜分别为x，y，z个，则18x+30y+39z95，x=0，y=2，z=1或x=1，y=0，z=2或x=2，y=2，z=0，故不同的选择方式的种数是3种，故选：A【点评】： 本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础8（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t，使得f（x+t）+tf（x）=0对任意x都成立，则称f（x）是
8、“回旋函数”给下列四个命题：函数f（x）=x+1不是“回旋函数”；函数f（x）=x2是“回旋函数”；若函数f（x）=ax（a1）是“回旋函数”，则t0；若函数f（x）是t=2时的“回旋函数”，则f（x）在0，4030上至少有2015个零点其中为真命题的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4【考点】： 抽象函数及其应用【专题】： 函数的性质及应用【分析】： 利用回旋函数的定义即可利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a2+3a+1=0，故可判断；若指数函数y=ax为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得出结论由定义得到f（x+2）=2f（x），由零点存在定理得，在区间（x，
9、x+2）上必有一个零点令x=0，2，22，32，20152，即可得到【解析】： 解：对于函数f（x）=x+1为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得x+t+1+t（x+1）=0，t（x+2）=1x，t=，故结论正确对于函数f（x）=x2是“回旋函数”若（x+t）2+tx2=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有t=0，令x=1，则有t2+3t+1=0，显然t=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论不正确；对于，若指数函数y=ax为阶数为t回旋函数，则ax+t+tax=0，at+t=0，t0，结论成立，对于：若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x+2）+2f（x）=
10、0对任意的实数x都成立，即有f（x+2）=2f（x），则f（x+2）与f（x）异号，由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点，可令x=0，2，4，6，20152，则函数f（x）在0，4030上至少存在2015个零点故结论正确故真命题为：，故选：C【点评】： 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上9（5分）已知集合A=1，2，3，4，B=1，3，m，且BA，那么实数m=2或4【考点】： 集合的包含关系判断及应用【专题】： 集合
11、【分析】： 利用元素与集合之间的关系即可得出【解析】： 解：集合A=1，2，3，4，B=1，3，m，且BA，mA，m=2或4故答案为：2或4【点评】： 本题考查了元素与集合之间的关系，属于基础题10（5分）已知数列an中，a2=2，an+12an=0，那么数列an的前6项和是63【考点】： 数列递推式【专题】： 等差数列与等比数列【分析】： 利用等比数列的前n项和公式即可得出【解析】： 解：a2=2，an+12an=0，an+1=2an，2a1=2，解得a1=1数列an是等比数列，首项为1，公比为2，S6=63故答案为：63【点评】： 本题考查了等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力
12、，属于中档题11（5分）已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是0【考点】： 程序框图【专题】： 图表型；算法和程序框图【分析】： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值，当i=5时满足条件i4，退出循环，输出a的值为0【解析】： 解：模拟执行程序框图，可得a=2，i=1不满足条件i4，a=，i=2不满足条件i4，a=1，i=3不满足条件i4，a=，i=4不满足条件i4，a=0，i=5满足条件i4，退出循环，输出a的值为0故答案为：0【点评】： 本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的a，i的值是解题的关键，属于基础题12（5分）如图，已知PA是圆O的切
13、线，切点为A，PC过圆心O，且与圆O交于B，C两点，过C点作CDPA，垂足为D，PA=4，BC=6，那么CD=【考点】： 相似三角形的判定；相似三角形的性质【专题】： 选作题；推理和证明【分析】： 利用切割线定理，求出PO，利用OAPCDP，求出CD【解析】： 解：由题意，利用切割线定理可得：42=PB（PB+6），PB=2，PO=5，连接OA，则OAPA，CDPA，OAPCDP，CD=故答案为：【点评】： 本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础13（5分）11位数的手机号码，前七位是1581870，如果后四位只能从数字1，3，7中选取，且每个数字
14、至少出现一次，那么存在1与3相邻的手机号码的个数是16【考点】： 计数原理的应用【专题】： 应用题；排列组合【分析】： 分类讨论，利用列举法，即可得出结论【解析】： 解：若重复的是1，有1317，1371，1137，7131，1713，7113，共6个；1，3交换，重复1317，7131，有4个若重复是3，有1337，1373，3137，7133，3713，7313，共6个；1，3交换，重复3137，7313，有4个若重复是7，有1377，7137，7713，3177，7317，7731，共6个，共有10+10+6=26故答案为：26【点评】： 本题考查计数原理的运用，考查列举法，比较基础14
15、（5分）如图，在四边形ABCD中，BAD=90，ADC=120，AD=DC=2，AB=4，动点M在BCD内（含边界）运动，设=+，则+的取值范围是1，【考点】： 简单线性规划的应用；平面向量的基本定理及其意义【专题】： 不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】： 建立空间坐标系，利用向量的基本定理，求出M的坐标，利用线性规划的知识进行求解【解析】： 解：将四边形ABCD放入坐标系中，则A（0，0），D（0，2），B（4，0），ADC=120，AD=DC=2，DCA=30，AC=，则C（），设M（x，y），=+，（x，y）=（4，0）+（0，2）=（4，2），即x=4，y=2，则=，=，则+=
16、+，设z=+，则y=+2z，平移直线y=+2z，由图象知当直线y=+2z经过点B（4，0）时，截距最小，此时z最小，z=，当直线y=+2z经过点C（）时，截距最大，此时z最大，即z=，故1z，故+的取值范围是1，故答案为：1，【点评】： 本题主要考查平面向量基本定理的应用以及线性规划的综合应用，建立坐标系是解决本题的关键综合性较强，难度较大三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，ABC的面积是（）求b的值；（）求cos2A的值【考点】： 正弦定理；余弦定理【专题】： 解三角形【分析】
17、： （）由条件利用正弦定理求得a的值，再利用余弦定理求得b的值（）由正弦定理求得sinA的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2A的值【解析】： 解：（）因为ABC的面积是，c=5，所以=，即=，求得a=3由余弦定理b2=a2+c22accosB，得，求得b=7（）由正弦定理，可得，【点评】： 本题主要考查正弦定理和余弦定理、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题16（13分）随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：年龄在25，3
18、0），55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查（）求年龄在25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（）求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（）若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】： 离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【专题】： 应用题；概率与统计【分析】： （）利用古典概型的概率公式，求出年龄在25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；（）利用古典概型的概率公式，互斥事件的概率公式，求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；（）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
19、分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望【解析】： 解：（） 设“年龄在25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A，所以（3分）（） 设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B，所以（7分）（）X的可能取值为0，1，2，3所以，（11分）所以X的分布列是（12分）所以EX=0+1+2=（13分）【点评】： 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题17（14分）如图，在各棱长均为2的三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ACC1底面ABC，且A1AC=，点O为AC的中点（）求证：AC平面A1OB；（）求二面角B1ACB的余弦值；（）若点B
20、关于AC的对称点是D，在直线A1A上是否存在点P，使DP平面AB1C若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由【考点】： 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】： 综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】： （）连结A1C，证明A1OAC，BOAC，可得AC平面A1OB；（）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AB1C的法向量、平面ABC的法向量，利用向量的夹角公式求二面角B1ACB的余弦值；（）设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），由，得求出，即可得出结论【解析】： （）证明：连结A1C，因为AC
21、=AA1，AB=BC，点O为AC的中点，所以A1OAC，BOAC因为A1OBO=O，所以AC平面A1OB（4分）（）解：因为侧面A1ACC1底面ABC，所以A1O平面ABC所以A1OBO（5分）所以以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以A（0，1，0），C（0，1，0），所以，设平面AB1C的法向量为，所以即所以（7分）因为平面ABC的法向量为，所以所以二面角B1ACB的余弦值是（9分）（）解：存在因为点B关于AC的对称点是D，所以点（10分）假设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为（x，y，z），所以所以所以（12分）因为DP平面AB1
22、C，平面AB1C的法向量为，所以由，得所以=1（13分）所以在直线A1A上存在点P，使DP平面AB1C，且点P恰为A1点（14分）【点评】： 本题考查线面垂直，考查二面角的余弦值，考查线面平行，正确运用向量法是关键18（13分）已知椭圆C：=1（ab0）的左焦点是F（1，0），上顶点是B，且|BF|=2，直线y=k（x+1）与椭圆C相交于M，N两点（）求椭圆C的标准方程；（）若在x轴上存在点P，使得与k的取值无关，求点P的坐标【考点】： 椭圆的简单性质【专题】： 圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】： （）由椭圆C的左焦点是F（1，0），且|BF|=2，可得c，a再利用a2=b2+c2，得b2即
23、可（II）直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用数量积及其使得与k的取值无关，即可得出【解析】： 解：（）椭圆C的左焦点是F（1，0），且|BF|=2，c=1，a=2由a2=b2+c2，得b2=3椭圆C的标准方程是（）直线y=k（x+1）与椭圆C相交于M，N两点，联立方程组消去y，得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0=144k2+1440设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，0），=（x1x0）（x2x0）+y1y2=，与k的取值无关，点P的坐标是【点评】： 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、数量积运算性质，考查
24、了推理能力与计算能力，属于难题19（13分）已知函数f（x）=aexx+1，aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线方程；（）若对任意x（0，+），f（x）0恒成立，求a的取值范围；（）当x（0，+）时，求证：2ex2x2x【考点】： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】： 导数的综合应用【分析】： （）当a=1时，求函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在（0，f（0）处的切线方程；（）若对任意x（0，+），f（x）0恒成立，利用导数研究函数的最值即可求a的取值范围；（）构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明不等式
25、【解析】： 解：（）因为f（x）=aexx+1，a=1，所以f（x）=exx+1所以f（x）=ex1所以f（0）=2，f（0）=2所以切线方程是y2=2x，即2x+y2=0（）由f（x）0可得aexx+10所以a（x1）ex令g（x）=（x1）ex所以g（x）=xex0所以g（x）在（0，+）上单调递增所以1g（x）0所以a1（）令所以h（x）=2exx2+1（9分）由（）可知，当a=2时，f（x）=2exx+10所以h（x）0所以h（x）在（0，+）上单调递减所以h（x）h（0）=0所以【点评】： 本题主要考查导数的几何意义以及导数的综合应用，要求熟练掌握函数单调性，最值和导数之间的关系，考
26、查学生的运算和推理能力20（14分）设函数f（x）=，方程f（x）=x有唯一解，数列an满足f（an）=an+1（nN*），且f（1）=数列bn满足bn=（）求证：数列是等差数列；（）数列cn满足cn=，其前n项和为Sn，若存在nN*，使kSn=成立，求k的最小值；（）若对任意nN*，使不等式成立，求实数t的最大值【考点】： 数列与不等式的综合；数列的求和【专题】： 函数的性质及应用；等差数列与等比数列【分析】： （）通过根的判别式为零可知=x有唯一解时，从而，计算可知，利用得a1=1；（）通过（）得bn=2n1，通过拆项可知cn=（），从而利用基本不等式解可得；（）对已知不等式变形及可知0，通过作商法可知g（n）是递增数列，计算即可【解析】： 解：（），方程f（x）=x有唯一解，即mx2+（2m1）x=0（m0）有唯一解=4m24m+1=0所以，anan+1+2an+12an=0，解得a1=1所以数列首项为1，公差为的等差数列；（） 由（）得 ，bn=2n1，=，所以，当且仅当，即n=2时等号成立所以k的最小值是；（），令，g（n）0，=，g（n）是递增数列，从而，所以t的最大值是【点评】： 本题是一道数列与不等式的综合题，涉及到基本不等式，数列的单调性，根的判别式等知识，考查分析、解决问题的能力以及计算能力，注意解题方法的积累，属于难题
