1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.2.3直线与平面的夹角 导思1.空间中斜线与平面所成角的定义与性质是什么？2求直线与平面所成角的方法有哪些？1.直线与平面所成的角直线与平面的夹角的取值范围与斜线与平面夹角的取值范围相同吗？提示：不相同，直线与平面的夹角的取值范围是，斜线与平面的夹角的取值范围是.2斜线与平面所成角的性质(1)“最小角”结论(2)“三相等”结论经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等(3)射影长计算公式当线段AB
2、所在的直线与平面所成的角为，且AB在平面内的射影为AB时，有ABAB_cos_一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是直线？它是唯一的吗？提示：是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的3直线与平面的夹角的向量求法如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，直线l与平面所成角的大小为，则v，n或v，n，特别地，cos sin v，n或sin_直线l的方向向量v与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？提示：不是，直线和平面的夹角为.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)斜线与平面的夹角的取值范围是.()(2)直线与平面所成的角与该直线的方向向量与平面的法向量的夹角互余()(3)
3、一条直线与平面所成的角小于它和平面内其他直线所成的角()提示：(1).斜线与平面的夹角的取值范围是.(2).直线的方向向量与平面的法向量的夹角可能是钝角(3).当直线与平面垂直时不对2已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量、法向量，且cos m，n，则直线l与平面所成的角为()A30 B60 C120 D150【解析】选B.设直线l与平面所成的角为，则sin cos m，n，所以60.3(教材例题改编)已知直线l平面A，B是直线l上一点，AB6，直线l与平面所成的角为60，则线段AB在平面内的射影长为_【解析】射影长ABcos 6063.答案：3关键能力合作学习类型一定义法求直线与平面所成
4、的角(数学运算、直观想象)1正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱AB上的点，且AB4EB，则直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为()A B C D2在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”如图，四棱锥PABCD为阳马，侧棱PA底面ABCD，PAABAD，E为棱PA的中点，则直线CE与平面PAD所成角的正弦值为()A B C D3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角为_【解析】1.选A.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面AA1D1D平面BB1C1C，所以直线C1E与平面ADD1A1所成角等于直线C1E与
5、平面BCC1B1所成角，因为EB平面BB1C1C，连接BC1，则EC1B即为直线C1E与平面BCC1B1所成角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4a，则EBa，BC14a.所以tan EC1B.即直线C1E与平面ADD1A1所成角的正切值为.2选A.如图，侧棱PA底面ABCD，PA平面PAD，则平面PAD平面ABCD，因为底面ABCD为矩形，所以CDAD，而平面PAD平面ABCDAD，所以CD平面PAD.连接ED，则ED为CE在平面PAD上的射影，则CED为CE与平面PAD所成角，设PAABAD2a，则AEa，EDa，EC3a.所以sin CED.即直线CE与平面PAD所成角的正弦值为.
6、3连接BC1交B1C于O点，连接A1O.设正方体棱长为a.易证BC1平面A1B1CD，所以A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影，所以BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角在RtA1BO中，A1Ba，OBa，所以sin BA1O，所以BA1O30.即A1B和平面A1B1CD所成的角为30.答案：30用定义法求直线与平面所成角的关注点(1)关键：寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的射影(2)三种情况：若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为；若是斜线与平面，作出斜线与平面所成的角，通过解三角形求出直线与平面夹角的大小类型二向量
7、法求直线与平面所成的角(数学运算、逻辑推理)【典例】如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点(1)证明：AB1平面BC1D；(2)证明：BD平面AA1C1C；(3)若AA1AB，求直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值【思路导引】(1)连接B1C，交BC1于O，连接OD，推导出ODAB1，由此能证明AB1平面BC1D.(2)推导出BDAC，BDAA1，由此能证明BD平面AA1C1C.(3)设AA1AB2，以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值【解析】(1)连接B1
8、C，交BC1于O，连接OD，因为正三棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，O是B1C的中点，所以ODAB1，因为AB1平面BC1D，OD平面BC1D，所以AB1平面BC1D.(2)因为正三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，又D是AC中点，所以BDAC，又AA1平面ABC，BD平面ABC，所以BDAA1，因为AA1ACA，所以BD平面AA1C1C. (3)设AA1AB2，以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，0，0)，C1(0，2，2)，A(，1，0)，C(0，2，0)，(0，2，2)，(，1，0)，(0，0，2)，设平面
9、AA1C1C的法向量n(x，y，z)，则，取x1，得n(1，0)，设直线BC1与平面AA1C1C所成角为，则sin .所以直线BC1与平面AA1C1C所成角的正弦值为.用向量法求直线与平面所成的角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设直线与平面所成的角为，则sin .已知四棱锥PABCD，四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD60，PAPD，APD90，F为AD中点，BPAD.(1)证明：平面PBF平面ABCD；(2)求BF与平面PBC所成的角【解析】(1)因为PAPD，F为AD的中点，所以PFAD.由题意，在ABF中，AB2，AF1，B
10、AF60，由余弦定理，得BF.因为PAPD，APD90，AD2，所以PF1.又BPAD2，所以BF2PF2BP2，即PFBF.因为AD平面ABCD，BF平面ABCD，ADBFF，所以PF平面ABCD，而PF平面PBF，所以平面PBF平面ABCD；(2)连接BD，因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且BAD60，所以ABD为等边三角形，又F为AD的中点，所以BFAD.由(1)知，FA，FB，FP两两互相垂直以F为坐标原点，分别以FA，FB，FP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系则F(0，0，0)，A(1，0，0)，D(1，0，0)，B(0，0)，P(0，0，1)，(0，0)，(2，0，0)
11、，(0，1).设平面PBC的一个法向量为n(x，y，z)，由，取z1，得n；设BF与平面PBC所成角为.则sin .所以BF与平面PBC所成的角为.类型三直线与平面所成角的性质及应用(直观想象、逻辑推理)“最小角”结论的应用【典例】已知PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值是_.【解析】如图，在PC上任取一点D并作DO平面APB，连接PO，则DPO就是直线PC与平面PAB所成的角所以cos BPDcos DPOcos OPB，cos APDcos DPOcos OPA，因为BPDAPDAPB60，所以OPBOPA30，所以cos
12、DPO，即PC与平面PAB所成角的余弦值为.答案：本例若改为：已知PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，且APCBPC60，直线PC与平面PAB所成的角为45，求射线PA与PB的夹角【解析】在PC上任取一点D并作DO平面APB，连接PO，则DPO就是直线PC与平面PAB所成的角所以cos BPDcos DPOcos OPB，cos APDcos DPOcos OPA，因为BPDAPD60，DPO45，所以OPBOPA，所以cos OPA，所以OPA45，所以APB2OPA90，即射线PA与PB的夹角为90.“三相等”结论及应用【典例】如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别是边AB，AC，B
13、C上的点，O为点P在平面ABC上的射影若PAPBPC，则直线PA，PB，PC与平面ABC的夹角相等；若PAPBPC，则点O是ABC的外心；若PDPEPF，则点O是ABC的内心以上判断正确的序号是_【解析】连接OA，OB，OC，则OA，OB，OC分别是线段PA，PB，PC在平面ABC上的射影，PAO，PBO，PCO分别是直线PA，PB，PC与平面ABC的夹角，因为PAPBPC，所以根据斜线与平面所成角的性质，有PAOPBOPCO，OAOBOC，所以O是ABC的外心，正确；同理若PDPEPF，则ODOEOF，但是OD，OE，OF是否与ABC的三边垂直无法说明，故点O不一定是ABC的内心，不正确答案
14、：斜线与平面所成角的性质的应用策略(1)“三相等”结论常用于直接证明角或线段的相等，省去了先证明三角形全等的麻烦；(2)“最小角”结论可以用于比较线面角、线线角的大小，也可以求线面角、线线角，灵活应用这个结论，有时会起到事半功倍的效果1如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，P是棱BC上的动点记直线A1P与平面ABC所成的角为1，与直线BC所成角为2，则1，2的大小关系是()A12 B12C12 D不能确定【解析】选C.因为1是直线A1P与平面ABC所成的角，而2是直线A1P与直线BC所成的角，由最小角定理可知12，又因为直线BC在平面ABC内且不可能与A1P的射影AP共线，所以1
15、2.2在边长为30米的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源，已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为()A30米 B20米 C15米 D15米【解析】选A.如图所示，点O为正六边形ABCDEF的中心，PAD是一个等腰直角三角形，APD90.OAB为等边三角形，所以OA30，因为OP平面ABCDEF，所以OAP45，所以OPOA30.要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为30米课堂检测素养达标1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是()AC1BB1 BC1BDCC1BD1 DC1BO【解析】选D.
16、由线面垂直的判定定理，得C1O平面BB1D1D，所以OB为BC1在平面BB1D1D上的射影，所以C1BO为BC1与平面BB1D1D所成的角2AB平面于点B，BC为AC在内的射影，CD在内，若ACD60，BCD45，则AC和平面所成的角为()A90 B60 C45 D30【解析】选C.设AC和平面所成的角为，则cos 60cos cos 45，故cos ，所以45.3(教材练习改编)已知正四面体ABCD，则AB与平面BCD所成角的余弦值为()A B C D【解析】选D.取CD中点E，连接BE，过A作AO平面BCD，则交BE于O，设正四面体ABCD的棱长为2，则BE，BOBE，因为AO平面BCD，所以ABO是AB与平面BCD所成角，cos ABO.所以AB与平面BCD所成角的余弦值为.4若是直线l与平面所成的角，则cos 的取值范围为_.【解析】由题意，090，所以0cos 1.答案：0，15若平面的一个法向量n(2，1，1)，直线l的一个方向向量为a(1，2，3)，则l与所成角的正弦值为_【解析】cos a，n，所以l与平面所成角的正弦值为.答案：关闭Word文档返回原板块
