1、第七节二项分布与正态分布课标要求考情分析1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念2理解n次独立重复试验的模型及二项分布3借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义4能解决一些简单的实际问题.相互独立事件、n次独立重复试验、二项分布，条件概率以及正态分布曲线的性质和服从正态分布的随机变量的概率是考查的热点，各种题型都可能涉及.知识点一条件概率及其性质1对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为P(B|A).在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则P(B|A).2条件概率具有的性质：(1)0P(B|A)
2、1；(2)如果B和C是两互斥事件，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)知识点二相互独立事件1对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称事件A与事件B相互独立2若A与B相互独立，则P(B|A)P(B)，P(AB)P(B|A)P(A)P(A)P(B)3若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立4若P(AB)P(A)P(B)，则A与B相互独立知识点三二项分布1独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的2在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率为Cpk(1p)
3、nk(k0,1,2，n)(p为事件A发生的概率)，事件A发生的次数是一个随机变量X，其分布列为二项分布，记为XB(n，p)，并称p为成功概率知识点四正态分布1正态分布的定义如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(，2)2正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散3正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(X)
4、0.682_7；(2)P(2X2)0.954_5；(3)P(32c1)P(Xc3)，则c.(5)两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为.解析：(1)设A甲第一次拿到白球，B甲第二次拿到红球，则P(AB)，P(A)，所以P(B|A).(2)设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A B，P(A B)P(A )P(B)P(A)P()P()P(B)0.20.70.80.30.38.(3)当函数f(x)x24x没有零点时，1644，根据正态曲线的对称性，当函数f(x)x24x没有零点的概率是
5、时，4.(4)XN(3,1)，正态曲线关于x3对称，且P(X2c1)P(Xc3)，2c1c332，c.(5)因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P.考点一条件概率【例1】(1)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.B. C.D.(2)已知一批产品共有10件，其中有3件次品，现不放回地从中依次抽取2件，则在第一次抽到次品的情况下，第二次抽到次品的概率为_【解析】(1)设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二
6、次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)，P(AB)，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A).故选C.(2)解法1：设“第一次抽到次品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B，则P(A)，P(AB)，所以P(B|A).解法2：(基本事件法)抽取2件，第一次抽取次品的基本事件数为n(A)CC27，第一次抽次品，第二次也抽到次品的基本事件数为n(AB)CC6，故所求概率P(B|A).解法3：(缩样法)第一次抽到次品后，还剩9件产品，其中还有2件次品，由古典概型的概率公式得，第二次抽到次品的概率为P(B|A).【答案】(1)C(2)方法技巧条件概率的求法(1)定
7、义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).(3)缩样法：即缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况(如本例(2)的解法)，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简1已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为(A)A0.75 B0.6C0.52 D0.48解析：设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由
8、题意知P(AB)0.6，P(A)0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P(B|A)0.75，故选A.2甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)(C)A.B. C.D.解析：解法1：由已知有P(B)，P(AB)，所以P(A|B)，故选C.解法2：(缩样法)“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则其他同学任报一项，共有3327种报法，而其它三人所报项目各不相同有A6种报法，所以P(A|B).考点二相互独立事件同时
9、发生的概率【例2】某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，下图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)频数2184814162(1)请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均值(2)该企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在25,30)内的定为一等品，每件售价240元
10、；质量指标值落在20,25)或30,35)内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售价120元根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X(单位：元)，求X的分布列【解】(1)根据题图1可知，设备改造前样本的频数分布表如下，质量指标值15，20)20，25)25，30)30，35)35，40)40，45)频数41640121810417.51622.54027.51232.51837.51042.53 020.样本产品的质量指标平均值为30.2.根据样本质量
11、指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2.(2)根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为，故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为，.随机变量X的取值为240,300,360,420,480.P(X240)，P(X300)C，P(X360)C，P(X420)C，P(X480)，所以随机变量X的分布列为X240300360420480P方法技巧利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和.(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件.(3)代入概率的积公式求解.1在高三的
12、某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做不等式选讲的概率为，乙同学选做不等式选讲的概率为，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做不等式选讲的概率为.解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做不等式选讲”为事件A，“乙同学不选做不等式选讲”为事件B，且A，B相互独立依题意，P(A)1，P(B)1，所以P(AB)P(A)P(B).又因为甲、乙二人至少有一人选做不等式选讲的对立事件为甲、乙二人都不选做不等式选讲，所以所求概率为1P(AB)1.2从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X
13、表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率解：(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.考点三独立重复试验与二项分布【例3】为了增强高考与高中学习的关联度，某省考生总
14、成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成保持统一高考的语文、数学、外语科目不变，分值不变，不分文理科，外语科目提供两次考试机会，计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术七科目中自主选择三科(1)某高校某专业要求选考科目物理，考生若要报考该校该专业，则有多少种选考科目的选择？(2)甲、乙、丙三名同学都选择了物理、化学、历史组合，各学科成绩达到二级的概率都是0.8，且三人约定如果达到二级则不参加第二次考试，达不到二级则参加第二次考试，如果设甲、乙、丙参加第二次考试的总次数为X，求X的
15、分布列和数学期望【解】(1)考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有C15种不同选择(2)因为甲、乙、丙三名同学每一学科达到二级的概率都相同且相互独立，所以参加第二次考试的总次数X服从二项分布B(9,0.2)，所以分布列为方法技巧独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率.(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率.1甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.
16、8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为(D)A0.32 B0.18C0.50 D0.057 6解析：甲命中一次的概率为C0.8(10.8)0.32，乙命中一次的概率为C0.9(10.9)0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P0.320.180.057 6.2(2019天津卷)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7
17、：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率解：(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，故XB(3，)，从而P(Xk)C()k()3k，k0,1,2,3.所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)32.(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则YB(3，)，且MX3，Y1X2，Y0由题意知事件X3，Y1与X2，Y0互斥，且事件X3与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由(1)知P(M)P(X3，Y1X2，Y0)P(X3，Y1)P(X2，Y0)P(X3)P(Y1)P(X2)
18、P(Y0).考点四正态分布【例4】(1)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，P(4)0.84，则P(0)()A0.16 B0.32C0.68 D0.84(2)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()A4.56% B13.59%C27.18% D31.74%【解析】(1)因为曲线的对称轴是直线x2，所以由图知P(0)1P(4)0.16.(2)由题意，0，3，所以长度误差落在区间(3,3)内的概率为68.26%，长度误差落在区间(6,6)内的概率为95.44%，两者作差，可得长度误差落在区间(6，3)(3,6)内的
19、概率为27.18%，由正态曲线的对称性，知长度误差落在区间(3,6)内的概率为27.18%213.59%.【答案】(1)A(2)B方法技巧解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0.1设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(C)AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)解析：由图可知12，1；P(X1)
20、P(X2)，则选项A、B错误；而结合图形可知，X的正态曲线与x轴及xt围成的面积不小于Y的正态曲线与x轴及xt围成的面积，则P(Xt)P(Yt)2设随机变量服从正态分布N(，2)(0)，若P(0)P(1)1，则的值为(D)A1 B1C D.解析：由P(0)P(1)1，得P(1)1，即P(1)，所以.正确区分二项分布与超几何分布【典例】某市电视台举办纪念红军长征胜利知识问答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.公园甲乙丙丁获得签名人数45603015然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之
21、星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品(1)求此活动中各公园幸运之星的人数；(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为，求恰好有2位幸运之星获得纪念品的概率；(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X，求X的分布列及数学期望【解】(1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为103，104，102，101.(2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C4，所以乙公园中恰好有2位幸运之星获得纪念品的概率为C22.(3)由题意，知X的所有可能取值为2,3,4，服从超几何分布，则P(X2)，P(X3)，P(X4).所以X的分布列为X
22、234P故E(X)234.【素养解读】二项分布与超几何分布是两类常见的概率分布，正确区分它们是解题的关键二项分布往往是从无限总体中抽取样本，每个个体被抽取的概率相同，且相互之间没有影响，超几何分布往往是从有限总体中抽取样本，每个个体被抽取的概率是相互影响的，当总体容量很大时，超几何分布可以近似地看成二项分布1某项大型赛事，需要从高校选拔青年志愿者，某大学学生实践中心积极参与，从8名学生会干部(其中男生5名，女生3名)中选3名参加志愿者服务活动若所选3名学生中的女生人数为X，求X的分布列及数学期望解：因为8名学生会干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服从参数N8，M3，n3的超几何分布X的
23、所有可能取值为0,1,2,3，其中P(Xi)(i0,1,2,3)，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)0123.2网购已成为现代大学生的时尚某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家网站购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城中选择一家购物(1)求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；(2)用，分别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)解：(1)这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为.设“这4个人中恰有i人去淘宝网购物”为事件Ai(i0,1,2,3,4)，则P(Ai)Ci4i(i0,1,2,3,4)故这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率P(A1)C13.(2)X的所有可能取值为0,3,4.则P(X0)P(A0)P(A4)C04C40，P(X3)P(A1)P(A3)C13C31，P(X4)P(A2)C22.所以X的分布列为X034P故E(X)034.
