1、 第一章 集合与函数概念1.3.2函数的奇偶性学习目标1.了解函数奇偶性的含义及其图象特征(难点）2掌握判断函数奇偶性的方法和步骤 （重点、难点）故宫殿堂建筑整齐对称，相映成趣,给人以稳重、博大、端庄的感觉！数学上有对称的函数图象吗？它们体现了函数的什么性质？一起让我们来学习这个性质吧！情景导学 1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)=4，f(2)=4 f(0)=0,f(-1)=(-1)=1,f(1)=1，f(-x)=(-x)=x f(-1)=f(1)，f(-2)=f(2)(-x,y)-xxf(
2、-x)f(x)xyo(x,y)f(-x)=f(x)探究1 偶函数的定义 问题探究思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？函数图象关于y轴对称；对定义域内任意的自变量x都有 ()()fxf x问题探究 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任 意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就 叫做偶函数.例如，下图：对定义域内任意的自变量x都有 ()()fxf x概念解析思考：对于定义在R上的函数f(x),若f(3)=f(3),则函数f(x)一定是偶函数吗?提示：不一定,仅有f(3)=f(3)不足以确定函数的奇偶性,不满足定义中的“任意”,故不一定是偶函数.概念思辩 2.已
3、知f(x)=x,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2)及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)=-8，f(2)=8.f(0)=0,f(-1)=(-1)=-1，f(1)=1，f(-x)=(-x)=-x f(-1)=-f(1)f(-2)=-f(2)xxyof(-x)=-f(x)-xf(-x)f(x)探究2 奇函数的定义 问题探究思考:奇函数中，函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系？提示：如图，f(-x)=-x3=-f(x)，即横坐标互为相反数的点的纵坐标互为相反数.xxyo-xf(-x)f(x)问题探究 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意 一个x
4、，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数.概念解析 1.根据图象判断下列函数哪个是偶函数，哪个是奇函数？偶函数 偶函数 学以致用奇函数 奇函数【总结提升】奇函数与偶函数定义中的三性(1)对称性：奇、偶函数的定义域关于原点对称；(2)整体性：奇偶性是函数的整体性质，是对定义域 内的每一个x都成立的；(3)可逆性：f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数，f(-x)=f(x)f(x)是偶函数.归纳总结判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)=x2的图象关于y轴对称.()(2)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0.()(3)如果一个函数的图象关于原点对称，
5、则有 f(x)-f(x)=0.()提示：(1)正确.因为函数f(x)=x2是偶函数，故图象关于y轴对称.(2)正确.因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)=-f(x)，即f(0)=f(0)=-f(0),所以f(0)=0.(3)错误.因为函数的图象关于原点对称，则该函数是奇函数，故f(x)=-f(x)，则有f(x)+f(x)=0.想一想例1.判断下列函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）；（4）4()f xx5()f xx1()f xxx分析：只要按照函数奇偶性的定义，检验各个函数是否符合即可.f(x)x3x2x1.例题解析解：（1）对于函数f(x)=x4，其定义域是 .因为对定义域内的每一个
6、x，都有 所以，函数f(x)=x4为偶函数。(,)44()()(),fxxxf x(2)对于函数f(x)=x5，其定义域为 .因为对定义域内的每一个x，都有 所以，函数f(x)=x5为奇函数.(,)55()()(),fxxxf x(3)对于函数 ，其定义域是x|x0.因为对于定义域内的每一个x，都有 所以，函数 为奇函数.1()f xxx1()f xxx11()()(),fxxxf xxx(4)函数 f(x)的定义域为(，1)(1，)，不关于原点对称，故函数 f(x)不具有奇偶性.（1）判断函数 的奇偶性.（2）如图是函数 图象的一部分，如何画出函数在整个定义域上的图象？31()53f xxx
7、31()53f xxx跟踪训练解：(1)对于函数 ，其定义域是 .由于对定义域内的任意x，都有 所以，函数f(x)是奇函数.3311()()5()5()33 fxxxxxf x(,)31()53f xxx(2)由于奇函数的图象关于坐标原点对称，只要在函数图象上找点作出这些点关于坐标原点的对称点，描点即可作出函数在整个定义域上的图象.如图 用函数奇偶性的定义判断函数奇偶性的一般步骤是：（1）先求函数的定义域，由于在函数奇偶性的定义中都是x和-x对应出现，故具备奇偶性的函数的定义域区间一定关于坐标原点对称，如果求出函数的定义域不是关于坐标原点对称的，则这个函数不具备奇偶性.（2）验证f(-x)=f
8、(x)，或者f(-x)=-f(x).（3）根据函数奇偶性的定义得出结论.归纳升华1.函数不是奇函数就是偶函数吗？答：函数按奇偶性分类：有的函数为偶函数；有的函数为奇函数；有的函数既是奇函数又是偶函数，如 f(x)0；有的函数既不是奇函数也不是偶函数，如 y x(x0)问题探究2.具备奇偶性的函数图象有什么特点？答：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 y 轴对称，则这个函数是偶函数问
9、题探究3.若函数f(x)为奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)的值能确定吗？答：由奇函数的定义知 f(0)f(0)，即 f(0)f(0)，f(0)0.问题探究1.函数f(x)=x2，x0，)的奇偶性是()A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数，又是偶函数 【提示】函数定义域不关于原点对称，所以函数是 非奇非偶函数 C 当堂检测2.已知函数f（x）为奇函数，且当x0时，f（x）=x2+，则f（-1）=（）A2 B1 C0 D-2 1x解题提示：由条件利用函数的奇偶性可得；f（-1）=-f（1），运算求得结果 D 3.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，定义域为a-
10、1,2a,则a=_，b=_.【解析】因为定义域为a-1,2a关于原点对称，所以a-1+2a=0，所以a=又因为f(-x)=f(x)，所以 x2-bx+1+b=x2+bx+1+b,由对应项系数相等得，-b=b，所以b=0.1.3130 13134.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。解：2215.1-11.xf xxff xx设函数求它的定义域；判断它的奇偶性；求的值 22222221-2-1-;.1-11113-1-11-10.xfxxxf xf xxxxff xxxxff xx 数义关点对称为数由 得函的定域于原，而 偶函，定义域 函数的奇偶性 判断方法 关于原点对称 偶函数关于y轴对称 奇函数关于原点对称 图象特点 定义法 图象法 课堂小结作 业 人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。亚里士多德