1、第一章 立体几何初步章末总结归纳 1空间几何体的三视图及面积、体积问题专题 1.考查空间几何体的三视图与几何体之间的相互转化，进而考查空间想象能力解决此类问题的主要依据是三视图的概念及画法规则2考查几何体的表面积与体积，解决此类问题时要善于将几何体分割转化成柱、锥、台、球，另外要善于把空间图形转化为平面图形，特别注意应用柱、锥、台体的侧面展开图3考查三视图与体积、面积的综合问题解题的关键是把三视图还原成几何体再进行求解 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的主视图和俯视图(1)请画
2、出该安全标识墩的左视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线 BD平面 PEG.【解】(1)左视图同主视图(略)(2)该安全标识墩的体积为VVPEFGHVABCDEFGH13402604022032 00032 00064 000(cm3)(3)证明：如图，连接 EG、HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O点，连接 PO，由正四棱锥的性质可知，PO平面 EFGH，HF平面 EFGH，POHF.又EGHF，POEGO，HF平面 PEG.又BDHF，BD平面 PEG.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度 h 正好相同，求
3、h.【解】设圆锥形容器的液体面的半径为 R，则液体的体积为13 R2h.圆柱形容器内的液体体积为 a22h，根据题意，有13 R2ha22h.解得 R 32 a.再根据圆锥轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32 aaha，所以 h 32 a.2空间中的平行与垂直关系的转化专题 立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理比较多，它们之间并不是彼此孤立的，做题时要充分运用它们之间的联系，挖掘题目提供的有效信息，综合运用各个定理平行与垂直之间的相互转化关系如图所示熟记定理的条件和结论是正确进行平行与垂直相互转化的关键其中：若aba b(平行线中一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直)若
4、ab ab(垂直于同一平面的两条直线互相平行)若ll(垂直于同一条直线的两个平面互相平行)若l l(一条直线垂直于平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面)abab(面面平行的性质定理)面面垂直定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直 如图，在三棱柱 BCEADF 中，四边形 ABCD 是正方形，DF平面 ABCD，M，N 分别是 AB，AC 的中点，G 是DF 上的一点(1)求证：GNAC；(2)若 FGGD，求证：GA平面 FMC.【证明】(1)连接 DN，四边形 ABCD 是正方形，DNAC.DF平面 AB
5、CD，AC平面 ABCD，DFAC.又DNDFD，AC平面 DNF.GN平面 DNF，GNAC.(2)取 DC 的中点 S，连接 AS，GS.G 是 DF 的中点，GSFC，ASCM.又 GS，AS平面 FMC，FC，CM平面 FMC，GS平面 FMC，AS平面 FMC，而 ASGSS，平面 GSA平面 FMC.GA平面 GSA，GA平面 FMC.3平面图形的翻折问题专题 将平面图形沿直线翻折成立体图形，实际上是以该直线为轴的一个旋转要用动态的眼光看问题求解翻折问题的基本方法是：先比较翻折前后的图形，弄清在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些不变，特别要抓住不变量，
6、一般地，在同一个半平面内的几何元素之间的关系是不变的，涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是变化了的，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立体几何问题 如图(1)在直角梯形 ABCP 中，BCAP，ABAP，CDPA，ADDCPD2，E，F，G 分别是线段 PC，PD，BC 的中点，现在将PDC 折起，使平面 PDC平面 ABCD，如图(2)(1)求证：AP平面 EFG；(2)若 PB 的中点为 Q，证明：平面 PDC平面 ADQ.【证明】(1)如图取 AD 的中点 H，连接 HG，HF.E，F，G 分别是线段 PC，PD，BC 的中点，EFDC，HGDC，H
7、GEF，从而 E，F，H，G 四点共面HF平面 EFHG.HFAP，HF平面 EFHG，AP平面 EFHG，AP平面 EFHG，即 AP平面 EFG.(2)当点 Q 是线段 PB 的中点时，取 PC 的中点 S，连接 QS，DS，则有 QSBC.又 BCAD，SQAD.A，D，S，Q 四点共面PDDC，S 为 PC 的中点，PCDS.又PD平面 ABCD，ADCD，ADPC.又 ADDSD，PC平面 ADSQ.又 PC平面 PDC，平面 PDC平面 ADQ.如图所示，在矩形 ABCD 和矩形 ABEF 中，AFAD，AMDN，矩形 ABEF 可沿 AB 任意翻折(1)求证：当 F，A，D 不共
8、线时，线段 MN 总平行于平面 FAD；(2)“不管怎样翻折矩形 ABEF，线段 MN 和线段 FD 始终平行”这个结论对吗？如果对，请证明；如果不对，请说明怎样改变个别已知条件使上述结论成立【解】(1)证明：当 F，A，D 不共线时，连接 BM 并延长交 FA 于 G，连接 DG.DNNBAMMEGMMB，MNDG.MN平面 FAD，DG平面 FAD，MN平面 FAD.(2)结论错由(1)可知，当 F，G 不重合时，MNDG，而DGDFD，MN 与 DF 不平行，可将条件改为“M，N 各是AE、DB 的中点”，则上述结论成立1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A3 B4 C5
9、 D6解析：由三视图可知该几何体是底面分别是正方形与梯形且等高的两个棱柱的组合体，V11122 1 25，故选C答案：C2正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P，Q，R 分别是 AB，AD，B1C1 的中点那么，过正方体的 P，Q，R 的截面图形是()A三角形B四边形C五边形D六边形解析：过正方体的 P，Q，R 的截面图形如图，是六边形QPNRMS.故选 D答案：D3已知正三棱锥 PABC 中，PAPBPC1，且 PA，PB，PC 两两垂直，则该三棱锥外接球的表面积为()A34 B32 C12 D3解析：PA，PB，PC 两两垂直，将正三棱锥 PABC 补成正方体，如图所示则正三棱锥的外接球
10、即为正方体的外接球，球的直径为正方体的体对角线，2R PA2PB2PC2 3，R 32，S 球4R23.故选 D答案：D4如图，将一个正三棱柱 ABCA1B1C1 容器中装一定量的水，液面高为 6(如图 1)，将平面 ABB1A1 放到一个水平面上，液面恰好过 AC，BC，A1C1，B1C1 的中点(如图 2)，则 AA1_.解析：由题可知 SCEH14SABC，SEHBA34SABC，VABHEA1B1GF34VABCA1B1C1，即 VA2B2C2ABC34VA1B1C1ABC，A2A34A1A.A2A6，A1A8.答案：85(2018全国卷)如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC2 2，
11、PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点(1)证明：PO平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC2MB，求点 C 到平面 POM的距离解：(1)证明：因为 PAPCAC4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP2 3.连接 OB.因为 ABBC 22 AC，所以ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB12AC2.由 OP2OB2PB2 知，OPOB.由 OPOB，OPAC 且 OBACO 知 PO平面 ABC.(2)作 CHOM，垂足为 H.又由(1)可得 OPCH，所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC12AC2，CM23BC4 23，ACB45.所以 OM2 53，由面积相等知 CHOCMCsinACBOM4 55.所以点 C 到平面 POM 的距离为4 55.