1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第1课时空间中点、直线和平面的向量表示空间中直线、平面的平行新课程标准学业水平要求1.能用向量语言描述直线和平面2理解直线的方向向量与平面的法向量3能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系1.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念(数学抽象)2能用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系(直观想象)3会用待定系数法求平面的法向量(数学运算)4熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的
2、平行关系(数学运算、直观想象)必备知识自主学习导思1.什么是直线的方向向量？什么是平面的法向量？2怎样用向量判断线线、线面、面面间的平行关系？1用向量表示直线的位置2.直线的向量表示式取空间中任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使ta.若a，则t.直线的方向向量如何确定？提示：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量3用向量表示平面的位置(1)通过平面上的一个定点和两个向量来确定(2)通过平面上的一个定点和法向量来确定4.空间平面ABC的向量表示式取空间中任意一点O，得到点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使xy.如何确定
3、平面的法向量？提示：设a，b是平面内两个不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为5空间中平行关系的向量表示设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面，的法向量分别为n1，n2，则线线平行l1l2u1u2R，使得u1u2线面平行l1u1n1u1n10面面平行n1n2 R，使得n1n2若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？提示：可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反()(2)平面的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在
4、两个不同的法向量()(3)两直线的方向向量平行，则两直线平行()(4)直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面平行()提示：(1).两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要么相反(2).一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线在应用时，可以根据需要进行选取(3).两直线的方向向量平行，只能说明两直线平行或者重合(4).直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平面内2若A(1，0，1)，B(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()A(2，2，6) B(1，1，3)C(3，1，1) D(3，0，1)【解析】选A.(1，1，3
5、)，所以与共线的向量都可以充当直线l的方向向量3(教材二次开发：例题改编)设平面的法向量为(1，3，2)，平面的法向量为(2，6，k)，若，则k_【解析】因为，所以它们的法向量共线，从而，解得k4.答案：4关键能力合作学习类型一求直线的方向向量和平面的法向量(数学运算)【典例】如图，四棱锥PABCD中底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量【思路导引】由题得AB，AP，AD两两垂直，以A为原点建系，根据长度写与坐标，计算和它们都垂直的向量【解析】因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两
6、垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则E，C(1，0)，于是，(1，0).设n(x，y，z)为平面ACE的一个法向量，则即所以令y1，则xz.所以平面ACE的一个法向量为n(，1，).本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量【解析】以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，0)，所以(1，1)，即为直线PC的一个方向向量设平面PCD的法向量为n(x，y，z).因为D(0，0)，所以(0，1).由即所以令y1，则z.所以平面PCD的一个法向量为(0，1，).待定系数法
7、求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z).(2)选向量：在平面内选取两个不共线的向量，.(3)列方程组：由列出方程组(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1).(6)得结论：得到平面的一个法向量1(多选题)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体，则()A.直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)B直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)C平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)D平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)【解析】选ABC.因为AA1DD1，且(0，0，1)，所以A正确；因为AD1BC1，(0，1，1)，所以B正确；因为AD平面A
8、BB1A1，(0，1，0)，所以C正确；因为(1，1，1)，但AC1与平面B1CD不垂直，所以D错误2在ABC中，A(1，1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点(1)求平面ABC的一个法向量；(2)求x，y，z满足的关系式【解析】(1)设平面ABC的法向量n(a，b，c).因为(2，4，1)，(2，2，1)，所以所以令b2，则a3，c2.所以平面ABC的一个法向量为n(3，2，2).(2)因为点M(x，y，z)是平面ABC内任意一点，所以n，所以3(x1)2(y1)2(z2)0，所以3x2y2z10.故x，y，z满足的关系式为3x2y2z10.类
9、型二利用空间向量证明线线平行(数学运算)【典例】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点求证：四边形AEC1F是平行四边形用向量证线线平行的方法不重合的两条直线的方向向量共线时，这两条直线就平行，所以要说明两直线平行，只需说明它们的方向向量共线，注意这些点不在同一直线上1已知向量a(2，4，5)，b(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y【解析】选D.因为l1l2，所以ab，所以存在R，使ab，则有23，4x，5y，所以x6，y.2在长方体OAEBO1A1E1B1中，OA3
10、，OB4，OO12，点P在棱AA1上，且AP2PA1，点S在棱BB1上，且SB12BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点求证：PQRS.【证明】如图，建立空间直角坐标系，则A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0).易求得P，Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S，于是，.所以，所以.因为RPQ，所以PQRS.类型三利用空间向量证明线面平行、面面平行(数学运算，逻辑推理)角度1线面平行【典例】在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点求证：MN平面A1BD.【思路导引】【证明】方法一：如图，以
11、D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，于是(1，0，1)，(1，1，0)，.设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则即取x1，则y1，z1，所以平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1).又n(1，1，1)0，所以n.所以MN平面A1BD.方法二：()，所以，所以MN平面A1BD.方法三：即可用与线性表示，故与，是共面向量，故MN平面A1BD.角度2面面平行【典例】若角度1的典例中条件不变，试证明平面A1BD平面CB1D1.【思路导引】求平面A1BD的法向量和平面C
12、B1D1的法向量，说明法向量共线，即可说明面面平行【解析】由角度1例题解析知，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，则(0，1，1)，(1，1，0)，设平面CB1D1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即令y11，可得平面CB1D1的一个法向量为m(1，1，1)，又平面A1BD的一个法向量为n(1，1，1).所以mn，所以mn，故平面A1BD平面CB1D1.1向量法证明线面平行的三个思路(1)设直线l的方向向量是a，平面的法向量是u，则要证明l，只需证明au，即au0；(2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，要证明一条直线
13、和一个平面平行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；(3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可2用向量证明面面平行的方法设平面的法向量为，平面的法向量为v，则v.1在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行 C垂直 D不能确定【解析】选B.建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2
14、)，B(2，0，2)，所以M(2，1，1)，N(1，1，2)，所以(1，0，1).平面BB1C1C的一个法向量为n(0，1，0)，因为n1001100，所以n，又因为MN平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.2在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，ADEF，EFBC，BC2AD4，EF3，AEBE2，G是BC的中点，求证：AB平面DEG.【证明】因为EF平面AEB，AE平面AEB，BE平面AEB，所以EFAE，EFBE.又因为AEEB，所以EB，EF，EA两两垂直以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得A(0，0，2)，B(2
15、，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，所以(0，2，2)，(2，2，0)，(2，0，2).设平面DEG的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，得z1，x1，则n(1，1，1)，所以n2020，即n.因为AB平面DEG，所以AB平面DEG.【补偿训练】在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是AB的中点，点F是AA1上靠近点A的三等分点，在线段DD1上是否存在一点G，使CGEF？若存在，求出点G的位置，若不存在，说明理由【解析】存在如图，建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则E，F，C(0，1，0)，假设在DD1上存在一点
16、G，使CGEF，则，由于点G在z轴上，设G(0，0，z)，则，(0，1，z).因为，所以，即(0，1，z).所以解得因为z0，1，所以点G在线段DD1上靠近点D1的三等分点，其坐标为.课堂检测素养达标1已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是()A(1，1，1) B(1，1，1)C(1，1，1) D(1, 1，1)【解析】选A.(1，1，0)，(1，0，1).设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y1，z1.故平面ABC的一个法向量是(1，1，1).2已知平面平面，n(1，1，1)是平面的一个法向量，则下列向量是平面的法向量的是(
17、)A(1，1，1) B(1，1，1)C(1，1，1) D(1，1，1)【解析】选B.因为，所以两个平面的法向量应共线，只有B选项符合3对于任意空间向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，给出下列三个结论：ab；若a1a2a31，则a为单位向量；aba1b1a2b2a3b30.其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选B.由ab，反之不一定成立，故不正确；若a1a2a31，则|a|，故不正确；正确4(教材二次开发：练习改编)已知(1，5，2)，(3，1，2)，(x，3，6)，若DE平面ABC，则x_【解析】因为DE平面ABC，所以存在实数m，n，使mn，即(x，3，6)m(1，5，2)n(3，1，2)，所以解得答案：5关闭Word文档返回原板块