1、2.4空间直角坐标系1在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关系是()A.关于x轴对称B.关于yOz平面对称C.关于坐标原点对称D.关于y轴对称解析：因为P,Q两点的y坐标相同,x,z坐标分别互为相反数,它们的中点在y轴上,并且PQ与y轴垂直,故P,Q关于y轴对称.答案：D2已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5),则()A.三点构成等腰三角形B.三点构成直角三角形C.三点构成等腰直角三角形D.三点不能构成三角形解析：因为|AB|=9+16+4=29,|BC|=9+16+4=29,|AC|=36+64+16=229,所以|AC|=|AB|+|
2、BC|.所以三点不能构成三角形.答案：D3已知空间一点P在xOy平面上的射影为M(1,2,0),在xOz平面上的射影为N(1,0,3),则P在yOz平面上的射影Q的坐标为()A.(1,2,3)B.(0,0,3)C.(0,2,3)D.(0,1,3)解析：由P点在xOy平面上的射影,知xP=1,yP=2,在xOz平面上的射影为N(1,0,3),知xP=1,zP=3.故P(1,2,3)在yOz平面上的射影为Q(0,2,3).答案：C4已知A(1-t,1-t,t),B(2,t,t),则A,B两点间距离的最小值是()A.55B.555C.355D.115解析：因为d(A,B)=2-(1-t)2+t-(1
3、-t)2+(t-t)2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2=5t-152+95355,所以A,B两点间距离的最小值是355.答案：C5如图,在正方体ABCD-ABCD中,棱长为1,点P在对角线BD上,且BP=13BD,则点P的坐标为()A.13,13,13B.23,23,23C.13,23,13D.23,23,13解析：点P在坐标平面xDy上的射影落在BD上.因为BP=13BD,所以Px=Py=23,Pz=13.故点P的坐标为23,23,13.答案：D6在空间直角坐标系中,若点P在x轴上,它到P1(0,2,3)的距离为23,则点P的坐标为.解析：设P(x,0,0),则x2+2+
4、9=23,解得x=1,故P点坐标为(1,0,0).答案：(1,0,0)7在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,-2),B(1,-3,1),点B关于坐标平面xOy的对称点为B1,则|AB1|=.答案：108若半径为r的球在第卦限内,且与各坐标平面均相切,则球心的坐标是.解析：由第卦限内的各坐标的符号正负可得.答案：(-r,-r,r)9若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是,猜想它表示的图形是.解析：由两点间距离公式得(x-1)2+y2+(z-1)2=(x-2)2+(y-1)2+z2,化简得2x+2y-2z-3=0,由几何图形的性质知这个
5、方程表示线段AB的中垂面.答案：2x+2y-2z-3=0线段AB的中垂面10已知A(3,3,1),B(1,0,5),求:(1)d(A,B);(2)线段AB的中点坐标;(3)到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.解(1)由空间两点间的距离公式,得d(A,B)=(3-1)2+(3-0)2+(1-5)2=29.(2)线段AB的中点坐标为3+12,3+02,1+52,即为2,32,3.(3)点P(x,y,z)到A,B的距离相等,则(x-3)2+(y-3)2+(z-1)2=(x-1)2+(y-0)2+(z-5)2,化简得4x+6y-8z+7=0,即到A,B距离相等的点P的坐
6、标(x,y,z)满足的条件是4x+6y-8z+7=0.11如图,在长方体OABC-DABC中,OA=3,OC=4,OD=3,AC与BD相交于点P,分别写出点C,B,P的坐标.解根据题意,得点C在y轴上,因为OC=4,所以点C的坐标为(0,4,0);点B的横坐标与点A的横坐标相同,因为OA=3,所以点B的横坐标为3,点B的纵坐标与点C的纵坐标相同,所以点B的纵坐标为4,点B的竖坐标与点D的竖坐标相同,因为OD=3,所以点B的竖坐标为3,所以点B的坐标为(3,4,3).点P的横坐标为点A横坐标的一半,纵坐标为点C纵坐标的一半,竖坐标与点D的竖坐标相同,因此,点P的坐标为32,2,3.综上所述:C(
7、0,4,0),B(3,4,3),P32,2,3.12如图,AF,DE分别是O,O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是O的直径,AB=AC=6,OEAD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.解因为AD与两圆所在的平面均垂直,OEAD,所以OE平面ABC,又因为AF平面ABC,BC平面ABC,所以OEAF,OEBC,又因为BC是圆O的直径,所以OB=OC,又因为AB=AC=6,所以OABC,BC=62,所以OA=OB=OC=OF=32.如图,以O为原点,以OB,OF,OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,-32,0),B(3
8、2,0,0),C(-32,0,0),D(0,-32,8),E(0,0,8),F(0,32,0).13如图,以正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.(1)当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值;(2)当点Q为棱CD的中点,点P在对角线AB上运动时,探究|PQ|的最小值;(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,探究|PQ|的最小值.由以上问题,你得到了什么结论,你能证明你的结论吗?解设正方体的棱长为a.(1)当点P为对角线AB的中点时,点P的坐标是a2,a2,a2.因为点Q在线段C
9、D上,设Q(0,a,z),|PQ|=a22+a2-a2+a2-z2=z-a22+12a2.当z=a2时,|PQ|的最小值为22a,即点Q为棱CD的中点时,|PQ|有最小值22a.(2)因为P在对角线AB上运动,Q是定点,所以当PQAB时,|PQ|最短.因为当点Q为棱CD的中点时,|AQ|=|BQ|,QAB是等腰三角形,所以当P是AB的中点时,|PQ|取得最小值22a.(3)当点P在对角线AB上运动,点Q在棱CD上运动时,|PQ|的最小值仍然是22a.证明如下:如图,设P(x,y,z1).由正方体的对称性,显然有x=y.设P在平面xOy上的射影是H.在AOB中,HPOB=HAOA,所以z1a=a-xa,即有x=a-z1.则点P的坐标是(a-z1,a-z1,z1).由已知,可设Q(0,a,z2),则|PQ|=(a-z1)2+(-z1)2+(z1-z2)2=(z2-z1)2+2z1-a22+a22.当z2=z1=a2时,|PQ|取得最小值,最小值是22a.
