1、课时作业(十五)1在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60，C点的俯角为70，则BAC等于()A10B50C120 D130答案D2一只船速为2 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为()A120 B90C60 D30答案B3一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8 海里，则灯塔S在B处的()A北偏东75B南偏东15C北偏东75或南偏东15D以上方位都不对答案C4某人朝正东方向走了x km后，向左
2、转150，然后朝新方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值是()A. B2C.或2 D3答案C5一船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过 h后，该船实际航行为()A2 km B6 kmC. km D8 km答案B6有货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为()A20() 海里/小时B20() 海里/小时C20() 海里/小时D20() 海里/小时答案B7.(2015厦门高二检测)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶
3、上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜率15，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45，若CD50 m，山坡对于地平面的坡度为，则cos()A. B.C.1 D.1答案C8台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为()A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时答案B9河两岸A，B两点，现测得BC32米，ABC75，ACB45，则A，B两点间的距离为_米(结果不要求取近似值)答案解析AB(米)10某市全运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在
4、直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30，且座位A，B的距离为10 米，则旗杆的高度为_米答案30解析由题意可知BAM105，BNA30，由正弦定理得，解得AN20米，在AMN中，MN20sin6030(米)，故旗杆的高度为30米11如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该航船在A处，此时测得ADC30，2分钟后该船行驶至B处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60，则船速为_(千米/分钟)答案解析在BCD中，BDC306090，CD1，BCD45，BC.在ACD中，CAD
5、180(604530)45，AC.在ABC中，AB2AC2BC22ACBCcos60，AB，船速为 千米/分钟12在山脚A处测得山顶S的仰角为45，沿倾斜角为15的该斜坡向上走100 m到B，又测得S的仰角为75，求山高SD.解析在ABS中，SAB451530，ASB30，ABS120，AB100 m，由正弦定理，得SA100(m)在RtSAD中，SDSAsin4510050(m)所以山高SD为50 m.13. (2015辽宁高二检测)如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3) 海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距2
6、0 海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间解析由题意知AB5(3)，DBA906030，DAB904545，所以ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理，得.所以DB10.又DBCDBAABC30(9060)60，BC20，在DBC中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BDBCcosDBC(10)2(20)221020900，所以CD30.又航行速度为30海里/小时，所以该救援船到达D点需要1小时14(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后
7、从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cosA，cosC.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析(1)在ABC中，因为cosA，cosC，所以sinA，sinC.从而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC.由，得ABsinC1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)设
8、乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由，得BCsinA500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在，(单位：m/min)范围内为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量A，B，
9、M，N在同一个铅垂平面内(如示意图)飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤解析方法一：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B的距离d(如图所示)第一步：计算AM.由正弦定理，得AM；第二步：计算AN，由正弦定理，得AN；第三步：计算MN.由余弦定理MN方法二：需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角1，1；B点到M，N点的俯角2，2；A，B间的距离d(如图所示)第一步：计算BM.由正弦定理，得BM；第二步：计算BN.由正弦定理，得BN；第三步：
10、计算MN.由余弦定理，得MN.1(2013辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosCcsinBcosAb，且ab，则B()A.B.C. D.答案A解析根据正弦定理，得asinBcosCcsinBcosAb等价于sinAcosCsinCcosA，即sin(AC).又ab，AC，B.故选A项2(2014福建)在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_答案2解析方法一：在ABC中，根据正弦定理，得，所以，解得sinB1.因为B(0，120)，所以B90，所以C30，所以ABC的面积SABCACBCsinC2.方法二：在ABC中，根据正弦定理，得，所以，
11、解得sinB1.因为B(0，120)，所以B90，所以AB2.所以ABC的面积SABCABBC2.3设ABC的内角，A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(abc)(abc)ab，则角C_答案解析由(abc)(abc)ab，整理，可得a2b2c2ab.cosC，C.4(2014安徽)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解析(1)因为A2B，所以sinAsin2B2sinBcosB.由正、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cosA.由于0A，所以sinA.故sinsinAcoscosAs
12、in.5(2013北京)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cosA的值；(2)若c的值解析(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理，得.所以.故cosA.(2)由(1)知，cosA，所以sinA.又因为B2A，所以cosB2cos2A1.所以sinB.在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB.所以c5.6(2013四川)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosBsin(AB)sinBcos(AC)，(1)求cosA的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解析(1)由2cos2cosBsin(AB)sinBcos(A
13、C)，得cos(AB)1cosBsin(AB)sinBcosB，即cos(AB)cosBsin(AB)sinB.则cos(ABB)，即cosA.(2)由cosA，0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4)252c225c()，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cosB.7(2013重庆)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2b2c2bc.(1)求A；(2)设a，S为ABC的面积，求S3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值解析(1)由余弦定理，得cosA.又因为0A，所以A.(2)由(1)得sinA，又由正弦定理及a，得SbcsinAasinC3sinBsi
14、nC.因此，S3cosBcosC3(sinBsinCcosBcosC)3cos(BC)所以，当BC，即B时，S3cosBcosC取最大值3.8(2012新课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解析(1)由acosCasinCbc0及正弦定理，得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因为BAC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.由于sinC0，所以sin(A).又0A，故A.(2)ABC的面积SbcsinA，故bc4.而a2b2c22bcosA，故b2c28.解得b
15、c2.9(2012辽宁)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列(1)求cosB的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值解析(1)由已知2BAC，ABC180，解得B60，所以cosB.(2)方法一：由已知b2ac，及cosB，根据正弦定理，得sin2BsinAsinC.所以sinAsinC1cos2B.方法二：由已知b2ac，及cosB，根据余弦定理，得cosB，解得ac.所以ACB60，故sinAsinC.10(2013江西)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC(cosAsinA)cosB0.(1)求角B的大小；(2)若ac1，求b的取值范围解析(1)由已知得cos(AB)cosAcosBsinAcosB0，即有sinAsinBsinAcosB0.因为sinA0，所以sinBcosB0.又cosB0，所以tanB.又0B，所以B.(2)由余弦定理，有b2a2c22accosB.因为ac1，cosB，所以b23(a)2.又0a1，于是有b21，即b1.