1、第二章章末测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，下列等式不成立的是()AcB.CasinCcsinA DcosB答案D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cosB，所以D不成立2已知ABC中，c6，a4，B120，则b等于()A76 B2C27 D2答案B解析由余弦定理，得b2a2c22accosB76，所以b2.3已知ABC中，a4，b4，A30，则B等于()A30 B30或150C60 D60或120答案D解析由正弦定理，得.所以sinBsinAsin30.又ab，则Aa，b，则长为的边所对的角最大由余
2、弦定理，得cos，所以三角形的最大内角是120.5在ABC中，周长为7.5 cm，且sinAsinBsinC456，则下列结论：abc456；abc2；a2 cm，b2.5 cm，c3 cm；ABC456.其中正确的个数是()A0个 B1个C2个 D3个答案C6某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮要()A450a元 B225a元C150a元 D300a元答案C解析三角形空地的面积为2030sin150150(平方米)，所以购买草皮要150a元7在ABC中，C90，0AcosA BsinBcosACsinAcosB Ds
3、inBcosB答案D解析因为AB90，则sinAcosB，sinBcosA.又0A45，所以sinAcosA，45BcosB.8ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p(ac，b)，q(ba，ca)，若pq，则角C的大小为()A. B.C. D.答案B解析由pq，得(ac)(ca)b(ba)，则b2a2c2ab.由余弦定理，得cosC，所以C.9在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2，则ABC的形状为()A直角三角形 B等腰直角三角形C等腰或直角三角形 D等边三角形答案A解析由cos2，得cosA，又cosA，以上两式整理，得c2a2b2，C90，故AB
4、C为直角三角形10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B.C. D3答案C解析利用所给条件以及余弦定理整体求解ab的值，再利用三角形面积公式求解c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsinC6.11在ABC中，若AB0)，则最大边2a所对的角的余弦值为.16甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲楼高为_m，乙楼高为_m.答案20解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC20 m.则在ABC中，B
5、AC90，AC20(m)，所以ABACtan6020(m)，在BCD中，BC40(m)，BCD906030，CBD90303030，则BDC1803030120.由正弦定理，得，所以CDBC.三、解答题(本大题共70分)17(本小题满分10分)已知A，B，C为ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosBcosCsinBsinC.(1)求A；(2)若a2，bc4，求ABC的面积思路分析(1)转化为求cosA；(2)求出bc的值即可解析(1)cosBcosCsinBsinC，cos(BC).ABC，cos(A).cosA.又0A，A.(2)由余弦定理，得a2b2c22bccosA.则(2
6、)2(bc)22bc2bccos，12162bc2bc()bc4.SABCbcsinA4.18(本小题满分12分)如图，在ABC中，AC2，BC1，cosC.(1)求AB的值；(2)求sin(2AC)的值解析(1)由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC412212.AB.(2)由cosC且0C，得sinC.由正弦定理，得.解得sinA.所以cosA.由倍角公式，得sin2A2sinAcosA，且cos2A12sin2A，故sin(2AC)sin2AcosCcos2AsinC.19(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的
7、值；(2)当a2，2sinAsinC时，求b及c的长解析(1)cos2C12sin2C，0C，sinC.(2)当a2，2sinAsinC时，由正弦定理，得c4.由cos2C2cos2C1及0C0)，解得b或b2.故或20(本小题满分12分)(2013新课标全国)如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.解析(1)由已知，得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理，得PA232cos30，故PA.(2)设PBA，由已知得，化简得cos4sin，所以tan，即tanPBA.21(本小题满分12分)
8、如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处然后以同样的速度，沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛(1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求BAC的正弦值解析(1)在ABC中，由已知，AB10550，BC10330，ABC1807515120.根据余弦定理，得AC250230225030cos1204 900，所以AC70.故A，C两岛之间的直线距离是70海里(2)在ABC中，由正弦定理，得.所以sinBAC.故BAC的正弦值是.22(本小题满分12分)设函数f(x)cos(2x)sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为ABC的三个内角，若cosB，f()，且C为锐角，求sinA.解析(1)f(x)cos2xcossin2xsincos2xsin2xcos2xsin2x.所以当2x2k，即xk(kZ)时，f(x)取得最大值，f(x)最大值，f(x)的最小正周期T，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为.(2)由f()，即sinC，解得sinC.又C为锐角，所以C.由cosB，求得sinB.因此sinAsin(BC)sin(BC)sinBcosCcosBsinC.