1、北京市第四十三中学2021届高三数学12月月考试题（含解析）第一部分 选择题一、选择题1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求两个集合，再求.【详解】，解得：或，即或，所以.故选：D2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3. 下列函数中，是偶函数，且在区间上
2、单调递增的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可【详解】y为奇函数，不符合题意，y为偶函数，在区间单调递增，符合题意，定义域为（0，+），是非奇非偶函数，不符合题意，是偶函数，且x0时，y1-x单调递减，不符合题意故选：B4. 已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由数轴知 ，不妨取检验选项得解.【详解】由数轴知 ，不妨取，对于A， ， 不成立.对于B， 不成立.对于C， ， 不成立.对于D， ，因此成立. 故选：D【点睛】利用不等式
3、性质比较大小要注意不等式性质成立的前提条件解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法5. 已知三条不同的直线，和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若，则，或相交，或异面，A错误；B. 若，则或，B错误；C. 若，则或相交，C错误； D. 若，则，D正确.故选：D.【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.6. 如图，半径为1的圆M与直线l相切于点A，圆M沿着直线l滚
4、动.当圆M滚动到圆时，圆与直线相切于点B，点A运动到点，线段AB的长度为则点到直线的距离为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】线段AB长度为即圆滚动了圈，此时到达，则点到直线的距离可求.【详解】线段AB的长度为设圆滚动了圈，则 即圆滚动了圈，此时到达，则点到直线的距离为.故选：C【点睛】本题考查圆的渐开线变式运用.圆的渐开线性质:(1)渐开线的发生线滚过的距离等于其在基圆滚过的弧长.(2)渐开线上任一点的法线恒与基圆相切.7. 若向量，满足，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由，得，即，再由，可得，根据可得答案【详解】解：，即，又，得
5、，而，故选：8. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A. B. 3C. D. 4【答案】C【解析】【分析】首先画出三棱锥的直观图，再根据垂直关系和长度，分别计算棱长.【详解】如图，是三视图表示的三棱锥，其中平面平面，且，且，如图，三棱锥的棱长分别为，,综上比较可知最长的棱长为.故选：C9. 函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】，即为奇函数，故排除当时，即在上为减函数，故排除故选D点睛：本题考查了函数的图象的判断，属于基础题；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称，利用函数的奇偶性判断函数图象，再通过函数的单调性及值域进行排除.10. 为了预
6、防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“”表示就座人员）根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】考虑每一列最多有3个人，故最多有12个人，排除12人的情况，将11人的情况作图得到答案.【详解】考虑每一列最多有3个人，故最多有12个人；若人数为12，则每一列的空位置必须在2行或者第3行，则会产生第1行和第4行有连续的3个人
7、，不满足；而11个人满足，如下图：故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的理解能力和推理能力.第二部分 非选择题二、填空题11. 已知直线过点（4，1），且与直线垂直，则直线的方程为_【答案】【解析】【分析】由垂直得直线斜率，由点斜式得直线方程并整理【详解】由题意直线斜率为，方程为，即故答案为：12. 若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】直接求出点关于直线的对称点，即可求出圆的标准方程.【详解】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心的坐标为，又圆的半径为1，所以圆的标准方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查圆的标准方程，同时考查求点关于直
8、线的对称点，属于基础题.13. 已知，且则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角的余弦公式可求得的值，求出的值，利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】，因为，且，则，因此，.故答案为：；.14. 已知矩形，点P满足，则_；_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及的值.【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、，则点，因此，.故答案为：；.15. 某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在，三个
9、选项中只有一个是正确的下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：12345得分甲4乙3丙2则甲同学答错的题目的题号是_；此正确的选项是_【答案】 (1). 5 (2). A【解析】【分析】根据图表，依次分析甲错的习题，比较甲，乙，丙的选项，即可求得甲同学答错的题号以及正确答案【详解】由甲得4分，则正确4个，乙得3分，正确答案为3个，若甲第1题答错，则其他均答对，会导致乙135题错，这样乙就没有3分，故不可能；若甲第2题答错，则其他均答对，会导致乙235题错，这样乙就没有3分，故不可能；若甲第3题答错，则其他均答对，会导致丙至少对3个，故不符合题意；若甲第4题答错，则其他均答对，
10、会导致乙3，4,5题错，这样乙就没有3分，故不可能；若甲第5题答错，则其他均答对，会导致丙135错，满足条件，会导致乙3,5错，故成立，所以甲，乙，丙第5题都做，所以正确答案为A.故答案为：5；A【点睛】关键点点睛：本题的关键是从甲的5个选项中分析，对比，判断甲做错的题号.三、解答题16. 在等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设，其中，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式可解得，从而可得数列的通项公式；（2）求出，再根据等差数列与等比数列的前项和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，则有解得，.所以数列的通项公式为.（2
11、）.因为数列是首项为，公比为的等比数列，所以【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公式，属于基础题.17. 设函数，（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值【答案】（1）最小正周期是，增区间是（2）最大值是2，最小值是【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式、二倍角公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求得最小正周期和单调增区间；（2）由（1）的单调性可得最值【详解】（1），所以最小正周期是，由得，单调增区间是（2）由（1）得在上单调递增，在上单调递减，又，【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角
12、公式，考查正弦函数的性质此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为形式，然后结合正弦函数性质求解18. 如图，在几何体中，底面是边长为2的正方形，平面，且（1）求证：平面平面；（2）求证：；（3）求钝二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由得线面平行，再得面面平行；（2）证明平面后可得线线垂直；（3）取中点，证明是二面角的平面角，然后在三角形中求解【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，由，平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面；（2）因为平面，所以平面，平面，所以，又，平面
13、，所以平面，而平面，所以；（3）取中点，连接，由上面证明可得，又，所以，所以是二面角的平面角，由平面，平面，得，又，中，【点睛】本题考查证明面面平行，线线垂直，求二面角，掌握线面间平行垂直的判定、性质定理是解题关键证明时定理的条件需要一一列举出来，缺少一个证明过程都不完整而求二面角本题使用的是定义法，即作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得结论19. 在中，（）求；（）若，_求和的面积从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答【答案】（）；（）选，选，【解析】【分析】（）由正弦定理化边为角后，利用三角函数恒等变换公式变形后可求得（）选，由余弦定理求得，再由面积公式得三角形面积；选，由内
14、角和公式得，求出后由正弦定理求得，再由面积公式得三角形面积【详解】（）因为，由正弦定理得，三角形中，所以，则，即，因为，则，所以，所以；（）选，由余弦定理得，得，解得（舍去），选，则，由得，【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，解题时注意三角形的条件，确定选用正弦定理还是余弦定理求解，在已知两边及一边对角时先由正弦定理求角，也可由余弦定理求得第三边20. 已知函数.（1）若函数是奇函数，直接写出的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）若在区间上恒成立，求的最大值.【答案】（1）0；（2）当时，无递减区间；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是；（3）1.【解析
15、】【分析】（1）令，根据函数奇函数，由求解.（2）求导，分，和三种情况，由求解. （3）将在区间上恒成立，转化为在区间上恒成立求解.【详解】（1）已知函数，所以，因为函数是奇函数，所以，即，所以，解得.（2）.当时，在内单调递增；当时，由得：；当时，由得：.综上所述，当时，无递减区间；当时，的单调递减区间是；当时，的单调递减区间是.（3）因为在区间上恒成立，即在区间上恒成立.所以在区间上恒成立.因为，所以.所以.所以若在区间上恒成立，的最大值为1.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成
16、立：；（2）能成立：；21. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）判断函数的零点的个数，并说明理由；（3）设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.【答案】（1）（2）有且仅有两个零点，详见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；（2）根据单调性和零点存在性定理可得在和上各有唯一一个零点，由此可得答案；（3）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线为，设曲线在点处的切线斜率为，根据导数的几何意义求出切线方程为，根据是的一个零点，可证两条切线重合.【详解】（1）因为，所以，.所以曲线在点处的切线的方程为.（2）函数有且仅有两个零点.理由如下：的定义域为.因为，所以在和上均单调递增.因为，所以在上有唯一零点.因，所以在上有唯一零点.综上，有且仅有两个零点.（3）曲线在点处的切线方程为，即.设曲线在点处的切线斜率为，则，即切点为.所以曲线在点处的切线方程为，即.因为是的一个零点，所以.所以.所以这两条切线重合.所以结论成立.【点睛】本题考查了根据导数的几何意义求切线的斜率，考查了用导数研究函数的单调性，考查了利用零点存在性判断零点个数，属于中档题.