1、2016-2017学年山东省潍坊市安丘市高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设命题P：x0，x21，则P为（）Ax0，x21Bx0，x21Cx0，x21Dx0，x212用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x3+ax+b=0没有实根B方程x3+ax+b=0至多有一个实根C方程x3+ax+b=0至多有两个实根D方程x3+ax+b=0恰好有两个实根3设（1+i）（x+yi）=2，其中x，y实数，则|x+2yi|=（）A1BCD4以下说法
2、错误的是（）A推理一般分为合情推理和演绎推理B归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理5某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据表可得回归直线方程=7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A73万元B73.5万元C74万元D74.5万元6已知z=（）8，则=（）A1B1CiDi7下列命题中，真命题的个数是（）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”；xy10是x5或y2的充分不必要条件；已知命
3、题p，q，若“pq”为假命题，则命题p与q一真一假；线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的相关性越强A1B2C3D48已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）ABC1D29已知双曲线的离心率为，且抛物线y2=mx的焦点为F，点P（3，y0）（y00）在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A3B2CD110函数f（x）的定义域为R，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点
4、11古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、这样的数称为“正方形数”从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A16=3+13B25=9+16C36=10+26D49=21+2812已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，bR），f（x）为f（x）的导函数，则f+f=（）A2017B2016C2D0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13已知m为函数f（x）=x312x的极大值点，则m= 14已知圆的方程式x2+
5、y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为 15欧拉公式exi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于 象限16对于函数f（x）=xlnx有如下结论：该函数为偶函数；若f（x0）=2，则x0=e；其单调递增区间是，+）；值域是，+）；该函数的图象与直线y=有且只有一个公共点（本题中e是自
6、然对数的底数）其中正确的是 （请把正确结论的序号填在横线上）三、解答题：本大题共4小题，满分46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知f（x）=1lnxx2（）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角的取值范围18为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8常喝不常喝合计肥胖60不肥胖10合计100（1）求肥胖学生的人数并将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳
7、酸饮料有关？说明你的理由附：参考公式：x2=P（x2x0）0.050.0250.0100.0050.001x03.8415.0246.6357.87910.82819已知函数f（x）=过点（1，e）（1）求y=f（x）的单调区间；（2）当x0时，求的最小值20已知椭圆E： +=1的右焦点为F（c，0）且abc0，设短轴的两端点为D，H，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|+|=4（1）求椭圆E的方程；（2）设O为坐标原点，过点P（0，1）的动直线与椭圆E交于A，B两点，是否存在常数，使得+为定值？求的值；若不存在，请说明理由选修4-4：坐标系与参数方
8、程21在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：=与圆C的交于O、P两点，求P的极坐标【选修4-5不等式选讲】22设函数f（x）=|xa|+3x，其中a0（）当a=1时，求不等式f（x）3x+2的解集（）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为t=
9、，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：cossin=8+2 距离的最小值【选修4-5不等式选讲】24已知不等式|x+2|+|x2|18的解集为A（1）求A；（2）若a，bA，x（0，+），不等式a+bx+m恒成立，求实数m的取值范围2016-2017学年山东省潍坊市安丘市高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设命题P：x0，x21，则P为（）Ax0，x21Bx0，x21Cx0，x21Dx0，x21【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】由xA，M成立，其否定为：x
10、A，M成立对照选项即可得到结论【解答】解：由xA，M成立，其否定为：xA，M成立命题P：x0，x21，可得P为x0，x21，故选：C2用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A方程x3+ax+b=0没有实根B方程x3+ax+b=0至多有一个实根C方程x3+ax+b=0至多有两个实根D方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【考点】R9：反证法与放缩法【分析】直接利用命题的否定写出假设即可【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+
11、b=0没有实根故选：A3设（1+i）（x+yi）=2，其中x，y实数，则|x+2yi|=（）A1BCD【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出【解答】解：（1+i）（x+yi）=2，其中x，y实数，xy+（x+y）i=2，可得xy=2，x+y=0解得x=1，y=1则|x+2yi|=|12i|=故选：D4以下说法错误的是（）A推理一般分为合情推理和演绎推理B归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理C在数学中，证明命题的正确性既能用演绎推理又能用合情推理D演绎推理经常使用的是由大前提、小前提得到结论的三段论推理【考点】F2：合情推理的含义与作用
12、【分析】根据归纳推理、类比推理、演绎推理、合情推理的定义，即可得到结论【解答】解：推理一般分为合情推理和演绎推理，故A正确所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理，是从特殊到一般的推理过程，故B正确在数学中，证明命题的正确性能用演绎推理但不能用合情推理，故C错误演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故D正确，故选C5某产品的广告费用x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据表可得回归直线方程=7x+，若广告费用为10万元，则预计销售额为（）A73万元B73.5万元C74万元D74.5万元【考点】BK：线性
13、回归方程【分析】利用回归直线方程恒过样本中心点，求出，再据此模型预报广告费用为10万元时销售额【解答】解：由题意， =4.5， =35，代入=7x+，可得=3.5，=7x+3.5，x=10时， =7x+=73.5，故选B6已知z=（）8，则=（）A1B1CiDi【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，在由虚数单位i得性质求解【解答】解：z=（）8=，故选：A7下列命题中，真命题的个数是（）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”；xy10是x5或y2的充分不必要条件；已知命题p，q，若“pq”为假命题，则命题p与q一真一假；线性相关系数r的绝对值越接近1，
14、表示两个变量的相关性越强A1B2C3D4【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】由命题的否命题为既对条件否定，又对结论否定，即可判断；由命题的等价命题：x=5且y=2是xy=10的充分不必要条件，即可判断；运用复合命题的真假，即可判断；线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的相关性越强，即可判断【解答】解：命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，故错；x=5且y=2是xy=10的充分不必要条件，由等价性可得xy10是x5或y2的充分不必要条件，故对；已知命题p，q，若“pq”为假命题，则命题p或q为假命题，故错；线性相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的相关性越强，故对其中正确
15、的命题个数为2故选：B8已知函数f（x）=lnx+x，则曲线f（x）在点P（1，f（1）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）ABC1D2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】根据求导公式求出函数的导数，把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化简，分别令x=0和y=0求出切线与坐标轴的交点坐标，再代入面积公式求解【解答】解：由题意得y=+1，则在点M（1，1）处的切线斜率k=2，故切线方程为：y1=2（x1），即y=2x1，令x=0得，y=1；令y=0得，x=，切线与坐标轴围成三角形的面积S=，故选：A9已知双曲线的离心率为，且抛物线y2=mx的焦点为F，点P（3，y0
16、）（y00）在此抛物线上，M为线段PF的中点，则点M到该抛物线的准线的距离为（）A3B2CD1【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】依题意，可求得双曲线x2=1的离心率e=2，于是知m=4，从而可求抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=1，继而可得点M的横坐标为2，从而得到答案【解答】解：双曲线的离心率为=，m=4，抛物线y2=mx=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=1；又点P（3，y0）在此抛物线上，M为线段PF的中点，点M的横坐标为：，点M到该抛物线的准线的距离d=2（1）=3，故选：A10函数f（x）的定义域为R，导函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A无极大值
17、点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f（a）=0，f（b）=0，f（c）=0，f（d）=0xa，函数是增函数，x（a，b）函数是减函数，x（b，c），函数在增函数，x（c，d）函数在减函数，xd，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d故选：C11古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、15、这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16、25、这样的
18、数称为“正方形数”从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A16=3+13B25=9+16C36=10+26D49=21+28【考点】F1：归纳推理【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21“正方形数”的规律为1、4、9、16、25，根据题目已知条件：从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可得出最后结果【解答】解：这些三角形数的规律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有21+28=49故选D12
19、已知函数f（x）=asinx+bx3+1（a，bR），f（x）为f（x）的导函数，则f+f=（）A2017B2016C2D0【考点】63：导数的运算【分析】根据函数的解析式求出函数的导数，结合函数的奇偶性建立方程关系进行求解即可【解答】解：函数的导数f（x）=acosx+3bx2，则f（x）为偶函数，则f=f=0，由f（x）=asinx+bx3+1得f=asin2016+b20163+1，f（2016）=asin2016b20163+1，则f=2，则f+f=2+0=2，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13已知m为函数f（x）=x312x的极大
20、值点，则m=2【考点】6D：利用导数研究函数的极值【分析】求出导函数，求出极值点，判断函数的单调性，求解极大值点即可【解答】解：函数f（x）=x312x，可得f（x）=3x212，令3x212=0，x=2或2，x（，2），f（x）0，x（2，2）f（x）0，x（2，+），f（x）0，x=2函数取得极大值，所以m=2故答案为：214已知圆的方程式x2+y2=r2，经过圆上一点M（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2，类别上述方法可以得到椭圆类似的性质为：经过椭圆上一点M（x0，y0）的切线方程为【考点】K5：椭圆的应用；F3：类比推理【分析】由过圆x2+y2=r2上一点的切线方程x0x+
21、y0y=r2，我们不难类比推断出过椭圆上一点的切线方程：用x0x代x2，用y0y代y2，即可得【解答】解：类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：过椭圆（ab0），上一点P（x0，y0）处的切线方程为故答案为：15欧拉公式exi=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e3i表示的复数在复平面中位于二象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】由题意结合三角函数的象限符号得答案【解答】解：由题意可得，e3i=cos3+i
22、sin3，3，cos30，sin30，则e3i表示的复数对应点的坐标为（cos3，sin3），在复平面中位于二象限故答案为：二16对于函数f（x）=xlnx有如下结论：该函数为偶函数；若f（x0）=2，则x0=e；其单调递增区间是，+）；值域是，+）；该函数的图象与直线y=有且只有一个公共点（本题中e是自然对数的底数）其中正确的是（请把正确结论的序号填在横线上）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性【分析】求出函数的定义域、导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值，从而判断结论即可【解答】解：f（x）=xlnx的定义域是（0，+），故不是偶函数，故错误；f（x）=lnx+
23、1，令f（x0）=2，即lnx0+1=2，解得：x0=e，故正确；令f（x）0，即lnx+10，解得：x，f（x）的单调递增区间是，+），故正确；由f（x）在（0，）递减，在（，+）递增，得：f（x）的最小值是f（）=，故f（x）的值域是，+），故错误；故该函数的图象与直线y=有且只有一个公共点，正确；故答案为：三、解答题：本大题共4小题，满分46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知f（x）=1lnxx2（）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（）求曲线f（x）的切线的斜率及倾斜角的取值范围【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲
24、线f（x）在x=1处的切线方程；（2）求导数，确定切线的斜率及倾斜角的取值范围【解答】解：（1）f（x）=1lnxx2，f（x）=x，x=1时，f（1）=，f（1）=，曲线f（x）在x=1处的切线方程为y=（x1），即10x+8y17=0；（2）x0，f（x）=x1，曲线C在点P处切线的斜率为x，倾斜角的取值范围为（，18为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对100名六年级学生进行了问卷调查得到如图联表且平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖已知在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8常喝不常喝合计肥胖60不肥胖10合计100（1）求肥胖学生的人数并
25、将上面的列联表补充完整；（2）是否有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由附：参考公式：x2=P（x2x0）0.050.0250.0100.0050.001x03.8415.0246.6357.87910.828【考点】BO：独立性检验的应用【分析】（1）根据在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，做出肥胖的学生人数，即可填上所有数字（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有95%的把握说看营养说明与性别有关【解答】解：（1）在全部100人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为0.8，则肥胖的学生为80人；常喝不常喝合计肥
26、胖602080不胖101020合计7030100（2）由已知数据可求得：K2=4.763.841，因此有95%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关19已知函数f（x）=过点（1，e）（1）求y=f（x）的单调区间；（2）当x0时，求的最小值【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性【分析】（1）根据题意得出b的值，求出导函数，得出函数的单调区间；（2）构造函数）令g（x）=，求出导函数g（x）=，根据导函数判断函数的极值即可【解答】解：（1）函数定义域为x|x0，f（1）=e，b=0，f（x）=，f（x）=，当x1时，f（x）0，函数递增；当x0或0x1时，f（x）
27、0，f（x）递减；函数的增区间为1，+，减区间为（，0），（0，1）；（2）令g（x）=，g（x）=，当在（0，2）时，g（x）0，g（x）递减；当在（2，+）时，g（x）0，g（x）递增，g（x）=为函数的最小值20已知椭圆E： +=1的右焦点为F（c，0）且abc0，设短轴的两端点为D，H，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|+|=4（1）求椭圆E的方程；（2）设O为坐标原点，过点P（0，1）的动直线与椭圆E交于A，B两点，是否存在常数，使得+为定值？求的值；若不存在，请说明理由【考点】KL：直线与椭圆的位置关系【分析】（1）根据椭圆的定义，则a
28、=2，由bc=，a2=b2+c2=4，由abc0，即可求得b和c的值，即可求得椭圆方程；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，利用根与系数的关系、向量数量积运算性质即可得出定值当直线AB的斜率不存在时，则+=+2=34=7成立【解答】解：（1）由椭圆的定义及对称性可知：|+|=4则2a=4，a=2，由题意，O到直线DF的距离为，则=，则bc=，又a2=b2+c2=4，由abc0，则b=，c=1，椭圆的标准方程：；（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）联立，得（4k2+3）x2+8kx8
29、=0其判别式0，x1+x2=，x1x2=从而+=x1x2+y1y2+x1x2+（y11）（y21），=（1+）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=23，当=2时，23=7，即+=7为定值当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时+=+2=34=7，故存在常数=2，使得+为定值7选修4-4：坐标系与参数方程21在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（1）求圆C的普通方程和极坐标方程；（2）射线OM：=与圆C的交于O、P两点，求P的极坐标【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可求圆C的普通
30、方程和极坐标方程；（2）射线OM：=与圆C的交于O、P两点，则=，即可求P的极坐标【解答】解：（1）圆C的参数方程（为参数），普通方程为（x1）2+y2=1，即x2+y2=2x，极坐标方程为=2cos；（2）射线OM：=与圆C的交于O、P两点，则=，P的极坐标为（）【选修4-5不等式选讲】22设函数f（x）=|xa|+3x，其中a0（）当a=1时，求不等式f（x）3x+2的解集（）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】（）当a=1时，f（x）3x+2可化为|x1|2直接求出不等式f（x）3x+2的解集即可（）由f（x）0得|xa|+3x0分xa和x
31、a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值【解答】解：（）当a=1时，f（x）3x+2可化为|x1|2由此可得x3或x1故不等式f（x）3x+2的解集为x|x3或x1（）由f（x）0得|xa|+3x0此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为x|x由题设可得=1，故a=2【选修4-4：坐标系与参数方程】23在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线C1：（t为参数），C2：（为参数）（）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求线段PQ的中点M到直线C3：cossin=8
32、+2 距离的最小值【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（）由cos2+sin2=1，能求出曲线C1，C2的普通方程，并能说明它们分别表示什么曲线（）当t=时，P（4，4），设Q（6cos，2sin），则M（2+3cos，2+sin），直线C3的直角坐标方程为：（8+2）=0，由此能求出线段PQ的中点M到直线C3：cos距离的最小值【解答】解：（）曲线C1：（t为参数），曲线C1的普通方程为：（x4）2+（y+3）2=1，曲线C2：（为参数），曲线C2的普通方程为：，曲线C1为圆心是（4，3），半径是1的圆曲线C2为中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短
33、半轴长是2的椭圆（）当t=时，P（4，4），设Q（6cos，2sin），则M（2+3cos，2+sin），直线C3：cos，直线C3的直角坐标方程为：（8+2）=0，M到C3的距离d= =3从而当cos（）=1时，d取得最小值3【选修4-5不等式选讲】24已知不等式|x+2|+|x2|18的解集为A（1）求A；（2）若a，bA，x（0，+），不等式a+bx+m恒成立，求实数m的取值范围【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题【分析】（1）分x2，2x2，x2三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；（2）分别求出a+b和x+m的范围，令a+b的最大值小于x+m的最小值即可【解答】解：（1）当x2时，x2x+218，解得9x2；当2x2时，x+2x+218，恒成立；当x2时，x+2+x218，解得2x9综上，不等式|x+2|+|x2|18的解集为（9，2）2，2（2，9）=（9，9）A=（9，9）（2）a，b（9，9），a+b（18，18）a+bx+m恒成立，18x+m恒成立，x（0，+），x+m2+m=4+m184+m，解得m14m的取值范围是14，+）