1、第二章 函 数2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系2理解函数零点存在性的判定方法.1函数的零点：一般地，如果函数 yf(x)在实数 处的值等于_，即_，则 叫做这个函数的_，在坐标系中函数的图象与 x 轴的公共点是_2二次函数的零点对于二次函数 yax2bxc当 b24ac0 时，有_个零点；当 b24ac0 时，有_个零点；当 b24ac0 时，没有零点f()0(，0)零零点211函数 f(x)2x23x1 的零点是()A12，1 B12，1C12，
2、1 D12，1解析：f(x)2x23x1(2x1)(x1)0，2x10 或 x10，x12，x1，故选 B答案：B2函数 f(x)x4x的零点个数为()A0 B1C2 D无数个解析：f(x)x4x0，x240，x2 或 x2，故选 C答案：C3二次函数 yax2bxc 中，已知 ac0，则函数的零点有_个解析：ac0，函数有 2 个零点答案：2典例精析 规律总结课堂互动探究1求函数的零点类型 求下列函数的零点(1)yx26x5；(2)yx21x；(3)yx1，x0，x24，x0.【解】(1)令 yx26x50，(x1)(x5)0，x1，x5，所以函数 yx26x5 的零点是1，5.(2)由 y
3、x21x0，x210，x1 或 x1，所以函数 yx21x的零点是 1 或1.(3)当 x0 时，x10，x10；当 x0 时，x240，x2 或 x2(舍)所以函数 yx1，x0，x24，x0的零点是2.【知识点拨】根据函数的零点与方程的根的关系，求函数的零点就是求该函数 yf(x)所对应的方程 f(x)0 的根函数 f(x)x(x216)的零点为()A(0,0)，(4,0)B0,4C(4,0)，(0,0)，(4,0)D4,0,4答案：D 若 f(x)axb(b0)有一个零点 3，求函数 g(x)bx23ax 的零点解：f(x)axb 的零点为 3，3ab0，b3a，b0，a0，g(x)3a
4、x23ax3ax(x1)，g(x)0 的根为 x0 或 x1.函数 g(x)的零点为 0，1.2函数零点的判断类型 (1)如果函数 f(x)ax22x1 有一正一负两个零点，求 a 的取值范围；(2)如果函数 f(x)ax22x1 有一个零点，求 a 的取值范围；(3)如果函数 f(x)ax22x1 在0,1有一个零点，求 a 的取值范围【解】(1)若 f(x)ax22x1 有一正一负两个零点，只需a0，f010.a0.(2)当 a0 时，f(x)2x10，x12，f(x)有一个零点当 a0 时，44a0，即 a1 时，f(x)x22x10，x1，f(x)有一个零点a 的值为 a0 或 a1.
5、(3)a 满足 f(0)f(1)0.即 a30，a3，当 a0 或 a1 时不符合条件a 的范围是 a3.【知识点拨】如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0 时，f(1)aa1a24a22a30，3a1，即 0a1.当 a0，即 a1 或 a3.a3.a 的取值范围是 a3 或 0a1.答案：(，3)(0,1)3函数零点的应用类型 若直线 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点，则 a的取值范围是_【解析】yx2|x|ax2xa，x0，x2xa，x0的图象如图示函数的图象与 y 轴的交点为(0，a)函数的最小值点为12，14a 或12，14a
6、，若 y1 与曲线 yx2|x|a 有四个交点，则只需14a1a，解得 1a54.【答案】1，54【知识点拨】函数 F(x)f(x)g(x)的零点就是方程 f(x)g(x)的实数根，也就是函数 yf(x)的图象与 yg(x)的图象交点的横坐标 设 f(x)ax2(b8)xaab 的两个零点分别是3,2.(1)求 f(x)；(2)当函数 f(x)的定义域为1,1时，求其值域解：(1)f(x)的两个零点分别是3,2，f30，f20，即3,2 是 ax2(b8)xaab0 的两根，8ba 32，aaba6，a3，b5，f(x)3x23x18.(2)由(1)知 f(x)3x23x18，对称轴 x12，
7、开口向下，当 x12时，f(x)max754，当 x1 时，f(x)min12.值域为12，754.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 零点存在性定理1已知函数 f(x)在区间a，b上单调，且图象是连续不断的，若 f(a)f(b)0，则方程 f(x)0 在区间a，b上()A至少有一实根B至多有一实根C没有实根D必有唯一的实根解析：函数 f(x)在区间a，b上单调，且图象是连续不断的，若 f(a)f(b)0，f(x)有两个零点，故选 A答案：A3已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，则函数 g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A1,3 B3，1,1,3C
8、2 7，1,3 D2 7，1,3解析：因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x23x，当 x0 时，x0，f(x)x23x 即 f(x)x23x，当 x0 时，g(x)x23xx3x24x30，x1或 x3；当 x0 时，g(x)x24x30，x2 7或 x2 7(舍)，g(x)的零点的集合为2 7，1,3，故选 D答案：D知识点三 零点的应用4函数 f(x)(x2)(x5)1 有两个零点 x1，x2，且 x1x2，下列关于 x1，x2 的式子：x12 且 2x25；x12 且 x25；x12 且 x25；2x15 且 x25；x1x27.其中错误的有_解析：f(x)(
9、x2)(x5)1，f(1)30，f(2)10，f(5)10，f(6)30，f(x)的两个零点满足 1x12,5x26，故正确；f(x)x27x9 的对称轴为 x72，x1x27，正确答案：5已知函数 f(x)ax2bx1(a，b 为实数，a0，xR)(1)若函数 f(x)的图象过点(2,1)，且函数 f(x)有且只有一个零点，求 f(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，当 x(1,2)时，g(x)f(x)kx 是单调函数，求实数 k 的取值范围解：(1)由题可知4a2b11，b24a0，解得a1，b2.f(x)x22x1.(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1，若 g(x)在(1,2)时是单调函数，则2k211 或2k212，k0 或 k6.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块