1、阶段性测试题六(数列)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2014浙江台州中学期中)公差不为0的等差数列an的前21项的和等于前8项的和若a8ak0，则k()A20B21C22D23答案C解析由条件知S21S8，a9a10a210，a150，a8ak2a150，k22.2(文)(2014抚顺市六校联合体期中)设等差数列an的前n项和为Sn，若2a86a11，则S9的值等于()A54B45C36D27答案A解析2a8a5a11
2、,2a86a11，a56，S99a554.(理)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，a21，前6项的方差为，则a3S3的值为()A9B3 C9D9答案D解析数列an的前6项为1d,1,1d,12d,13d,14d，1d，由条件知，S2(1d)2(1)2(1d)2(12d)2(13d)2(14d)2d2，d24，d2，a21，当d2时，a11，a33，S33，a3S39，当d2时，a13，a31，S33，a3S39，故选D.3(2015大连市二十中期中)设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6()A31B32C63D64答案C解析由等比数列的性质知，S2，S4S2，S6S
3、4成等比数列，(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，S663.4(2015江西南昌市二中月考)已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列答案C解析当a1时数列an为等差数列，当a为其他不等于0和1的值时，an为等比数列5(文)(2015江西三县联考)在数列an中，a12，an1an，nN*，则a101的值为()A49 B50 C51 D52答案D解析an1an，an是等差数列，an2(n1)(n3)a10152.(理)(2015遵义航天中学二模)在数列an中，
4、若a11，a2，(nN*)，则该数列的通项公式为()AanBanCanDan答案A解析，数列是等差数列，a11，a2，n，an，故选A.6(2015山师大附中月考)设函数f(x)xmax的导函数为f (x)2x1，则数列(nN*)的前n项和是()A.BC.D答案A解析f (x)mxm1a，a1，m2，f(x)x2x，Sn(1)()().7(文)(2015成都市树德中学期中)已知等差数列an的公差d0，若a4a624，a2a810，则该数列的前n项和Sn的最大值为()A50B40C45D35答案C解析a4a6a2a810，a4a624，d0，a11.(2)aan2Sn，aan12Sn1，得，(a
5、n1an)(an1an1)0，an0，an1an0，an1an1，an11(n1)n.n1时b11符合；n2时，2()，12()1.Tnb1b2bn.(理)(2015深圳五校联考)已知数列an满足a1，an2(n2)，Sn是数列bn的前n项和，且有1bn.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列bn的通项公式；(3)设cn，记数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn1.解析(1)证明：an(n2)，an11，1(n2)，1(n2)，数列是以2为首项，1为公差的等差数列(2)当n2时，bnSnSn1(2bn)(2bn1)bnbn1，bn1，即(n2)，n2n1，b12，bnn2n(n2)当n1时，b
6、1S12，bnn2n.(3)由(1)知：2(n1)1n1，an1，，Tni(1)()()11.19(本小题满分12分)(2014北京朝阳区期中)如果项数均为n(n2，nN*)的两个数列an，bn满足akbkk(k1,2，n)，且集合a1，a2，an，b1，b2，bn1,2,3，2n，则称数列an，bn是一对“n项相关数列”(1)设an，bn是一对“4项相关数列”，求a1a2a3a4和b1b2b3b4的值，并写出一对“4项相关数列”an，bn；(2)是否存在“15项相关数列”an，bn？若存在，试写出一对an，bn；若不存在，请说明理由；(3)对于确定的n，若存在“n项相关数列”，试证明符合条件
7、的“n项相关数列”有偶数对解析(1)依题意，a1b11，a2b22，a3b33，a4b44，相加得，a1a2a3a4(b1b2b3b4)10，又a1a2a3a4b1b2b3b436，则a1a2a3a423，b1b2b3b413.“4项相关数列”an：8,4,6,5；bn：7,2,3,1(不唯一)(2)不存在假设存在“15项相关数列”an，bn，则a1b11，a2b22，a15b1515，各式相加得，(a1a2a15)(b1b2b15)120，又由已知a1a2a15b1b2b151230465，两式相加得，2(a1a2a15)585，显然不可能，所以假设不成立，从而不存在“15项相关数列”an，
8、bn(3)对于确定的n，任取一对“n项相关数列”an，bn，令ck2n1bk，dk2n1ak(k1,2，n)，先证cn，dn也必为“n项相关数列”因为ckdk(2n1bk)(2n1ak)akbkk(k1,2，n)，又因为a1，a2，an，b1，b2，bn1,2,3,4，2n，很显然有：(2n1)a1，(2n1)a2，(2n1)an，(2n1)b1，(2n1)b2，(2n1)bn|1,2,3，2n，所以cn，dn也必为“n项相关数列”再证数列cn与an是不同的数列假设cn与an相同，则cn的第二项c22n1b2a2，又a2b22，则2b22n1，即b2，显然矛盾从而，符合条件的“n项相关数列”有
9、偶数对20(本小题满分12分)(2014华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)现在市面上有普通型汽车(以汽油为燃料)和电动型汽车两种某品牌普通型汽车车价为12万元，第一年汽油的消费为6000元，随着汽油价格的不断上升，汽油的消费每年以20%的速度增长其他费用(保险及维修费用等)第一年为5000元，以后每年递增2000元而电动汽车由于节能环保，越来越受到社会认可某品牌电动车在某市上市，车价为25万元，购买时一次性享受国家补贴价6万元和该市市政府补贴价4万元电动汽车动力不靠燃油，而靠电池电动车使用的普通锂电池平均使用寿命大约两年(也即两年需更换电池一次)，电池价格为1万元，电动汽车的
10、其他费用每年约为5000元(1)求使用n年，普通型汽车的总耗资费Sn(万元)的表达式(总耗资费车价汽油费其他费用)；(2)比较两种汽车各使用10年的总耗资费用(参考数据：(1.242.11.252.51.295.21.2106.2)解析(1)依题意，普通型每年的汽油费用为一个首项为0.6万元，公比为1.2的等比数列，使用n年，汽油费用共计06(11.21.221.2n1)3(1.2n1)，其他费用为一个首项为0.5万元，公差为0.2万元的等差数列，故使用n年其他费用共计0.5(0.50.2)0.50.2(n1)0.5n0.20.1n20.4n，Sn1231.2n30.1n20.4n31.2n0
11、.1n20.4n9(万元)(2)由(1)知Sn31.2n0.1n20.4n9，S1031.2100.11020.410936.2101341.6(万元)，又设T10为电动型汽车使用10年的总耗资费用，则T10256410.51025(万元)，4162516.6(万元)，使用10年，普通汽车比电动型汽车多花费16.6万元答：(1)使用n年，普通型汽车的总耗资费用Sn31.2n0.1n20.4n9，(2)使用10年，普通型汽车比电动型汽车多花费16.6万元21(本小题满分12分)(文)(2015安徽示范高中联考)数列an是公比为的等比数列，且1a2是a1与1a3的等比中项，前n项和为Sn；数列bn
12、是等差数列，b18，其前n项和Tn满足Tnnbn1(为常数，且1)(1)求数列an的通项公式及的值；(2)比较与Sn的大小解析(1)由题意得，(1a2)2a1(1a3)，(1a1q)2a1(1a1q2)，q，a1，an()n.，d8，bn8n，Tn4n(n1)(2)令Cn(1)()()(1)，Cn，Sn1()n，Sn1()n，Sn，Cn20.(1)求数列bn的通项公式及前n项和Sn；(2)设Pnb1b4b7b3n2，Qnb10b12b14b2n8，其中nN，试比较Pn与Qn的大小，并加以证明解析(1)设an的公比为q，由a3a1q2得，q29，q3.当q3时，a1a2a326181420矛盾当
13、q3时，a1a2a326182620，符合题意设bn的公差为d，由b1b2b3b426得，4b1d26，又b12，d3，bn3n1.Snn2n.(2)b1、b4、b7，b3n2组成公差为3d的等差数列，Pnnb13dn2n.b10，b12，b14，b2n8组成公差为2d的等差数列，Qnnb102d3n226n，PnQnn(n19)，故当n20时，PnQn；当n19时，PnQn；当n18时，Pn0)，且a3是6a1与a2的等差中项(1)求an的通项公式；(2)设bnanlog2an，求数列bn的前n项和Tn.解析(1)当n1时，S1a(S1a11)，a1a.当n2时，Sna(Snan1)Sn1a
14、(Sn1an11)得，anaan1，即a，故数列an是首项为a1a，公比为a的等比数列，anaan1an，故a2a2，a3a3，由a3是6a1与a2的等差中项可得2a36a1a2，即2a36aa2，因为a0，所以2a2a60，即(2a3)(a2)0，解得a2或a(舍去)a2.故an2n.(2)把an2n代入bnanlog2an，得bn2nlog22nn2n，Tn12222323n2n，2Tn122223324n2n1，得Tn222232nn2n1n2n12n12n2n1，Tn2n12n2n1(n1)2n12.(理)(2015山东烟台期中)设数列an的前n项和为Sn，且a12，an12Sn2.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn的各项均为正数，且bn是与的等比中项，求bn的前n项和Tn.解析(1)当n2时，由an12Sn2得an2Sn12，两式相减得，an1an2an，3(n2)当n1时，a22S122a126，3，an23n1.(2)由条件知b，bn0，bn.Tnb1b2bn，Tn，两式相减得，Tn(1).Tn.