1、广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分）1（5分）若集合P=x|2x4，Q=x|x3，则PQ等于（）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x3Dx|2x32（5分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A（1，1）B（2，2）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）3（5分）在ABC中，若=，则B的值为（）A30B45C60D904（5分）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A1B2C4D85（5分）等差数列an的公差为2，若a2，a4，a
2、8成等比数列，则an的前n项和Sn=（）An（n+1）Bn（n1）CD6（5分）设an为等差数列，公差d=2，sn为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A18B20C22D247（5分）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD8（5分）矩形两边长分别为a、b，且a+2b=6，则矩形面积的最大值是（）A4BCD29（5分）在ABC中，sin2Asin2C+sin2B=sinAsinB，则角C为（）A60B45C120D3010（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D6二填空题：（每小题5分，共计20分）11（5分）不
3、等式x25x+60的解集为12（5分）若ABC的面积为，BC=2，C=60，则边AB的长度等于13（5分）数列an满足an+1=，a8=2，则a1=14（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为三解答题：（共计80分）15（12分）设函数，（0），x（，+），且以为最小正周期（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）已知，求sintan的值16（12分）如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD（）求证：CD平面ABD；（）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积17（14分）已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x+6=0的根（1）
4、求an的通项公式；（2）求数列的前n项和18（14分）已知数列an的前n项和Sn=，nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+an，求数列bn的前n项和19（14分）如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的长20（14分）在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b+2（k0）的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B（1）用b和k表示AOB的面积SAOB；（2）若AOB的面积SAOB=|OA|+|OB|+3用b表示k，并确定b的取值范围；求AOB面积的最小值广东省深圳市宝安中学2014-2015学年
5、高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：（每小题只有一个选项，每小题5分，共计50分）1（5分）若集合P=x|2x4，Q=x|x3，则PQ等于（）Ax|3x4Bx|3x4Cx|2x3Dx|2x3考点：交集及其运算 专题：集合分析：由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案解答：解：P=x|2x4，Q=x|x3，PQ=x|3x4故选A点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键2（5分）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A（1，1）B（2，2）C（，2）（2，+）D（，1）（1，+）考点：一元二次方程的根的分布与系数的
6、关系 专题：计算题分析：利用题中条件：“关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根”由韦达定理的出m的关系式，解不等式即可解答：解：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，0，即：m240，解得：m（，2）（2，+）故选：C点评：本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系，属于基本运算的考查3（5分）在ABC中，若=，则B的值为（）A30B45C60D90考点：正弦定理 专题：解三角形分析：利用正弦定理列出关系式，结合已知等式得到sinA=cosA，即tanA=1，即可求出B的度数解答：解：由正弦定理得：=，即=，=，sinB=cosB，即tanB=1，则B=45故选：B点
7、评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键4（5分）公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A1B2C4D8考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式 分析：由公比为2的等比数列an 的各项都是正数，且a3a11=16，知故a7=4=，由此能求出a5解答：解：公比为2的等比数列an 的各项都是正数，且 a3a11=16，a7=4=，解得a5=1故选A点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（5分）等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn=（）An（n+1）Bn（
8、n1）CD考点：等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由题意可得a42=（a44）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得解答：解：由题意可得a42=a2a8，即a42=（a44）（a4+8），解得a4=8，a1=a432=2，Sn=na1+d，=2n+2=n（n+1），故选：A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题6（5分）设an为等差数列，公差d=2，sn为其前n项和，若S10=S11，则a1=（）A18B20C22D24考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公
9、差d表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值解答：解：由s10=s11，得到a1+a2+a10=a1+a2+a10+a11即a11=0，所以a12（111）=0，解得a1=20故选B点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题7（5分）若a，bR，且ab0，则下列不等式中，恒成立的是（）Aa2+b22abBCD考点：基本不等式 专题：综合题分析：利用基本不等式需注意：各数必须是正数不等式a2+b22ab的使用条件是a，bR解答：解：对于A；a2+b22ab所以A错对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，若a，b都小
10、于0时，所以B，C错ab0故选：D点评：本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等8（5分）矩形两边长分别为a、b，且a+2b=6，则矩形面积的最大值是（）A4BCD2考点：基本不等式 专题：计算题分析：根据两个数字的和是一个定值，利用基本不等式写出两个数的积的形式存在最大值，整理出最大值的形式，得到结果解答：解：a+2b=6a+2b2，2，2ab9，ab即矩形的面积的最大值是，故选B点评：本题考查基本不等式的应用，是一个较简单的基本不等式的应用，注意不等式的使用条件，本题是一个送分题目9（5分）在ABC中，sin2Asin2C+sin2B=sinAsinB，
11、则角C为（）A60B45C120D30考点：余弦定理；正弦定理 专题：计算题分析：把已知的等式利用正弦定理化简后，得到a，b及c的关系式，然后再利用余弦定理表示出cosC，把得出的关系式整理后代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数解答：解：利用正弦定理=化简已知的等式得：a2c2+b2=ab，即a2+b2c2=ab，cosC=，又C为三角形的内角，即0C180，则角C为60故选A点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用整体代入的思想，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键10（5分）若正数x，y满足x
12、+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）ABC5D6考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：不等式的解法及应用分析：将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值解答：解：正数x，y满足x+3y=5xy，=13x+4y=（）（3x+4y）=+2=5当且仅当=时取等号3x+4y5即3x+4y的最小值是5故选：C点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题二填空题：（每小题5分，共计20分）11（5分）不等式x25x+60的解集为x|2x3考点：一元二次不
13、等式的解法 专题：计算题分析：把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集解答：解：不等式x25x+60，因式分解得：（x2）（x3）0，可化为：或，解得：2x3，则原不等式的解集为x|2x3故答案为：x|2x3点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，同时考查了计算能力，属于基础题之列12（5分）若ABC的面积为，BC=2，C=60，则边AB的长度等于2考点：正弦定理 专题：解三角形分析：利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理
14、求出c的值即可解答：解：ABC的面积为，BC=a=2，C=60，absinC=，即b=2，由余弦定理得：c2=a2+b22abcosC=4+44=4，则AB=c=2，故答案为：2点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键13（5分）数列an满足an+1=，a8=2，则a1=考点：数列递推式 专题：计算题分析：根据a8=2，令n=7代入递推公式an+1=，求得a7，再依次求出a6，a5的结果，发现规律，求出a1的值解答：解：由题意得，an+1=，a8=2，令n=7代入上式得，a8=，解得a7=；令n=6代入得，a7=，解得a6=1；令n=5代入得，a6=，解得a5=
15、2；根据以上结果发现，求得结果按2，1循环，83=22，故a1=故答案为：点评：本题考查了数列递推公式的简单应用，即给n具体的值代入后求数列的项，属于基础题14（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为7考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点C，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（3，1），此时z=23+1=7，故答案为：7点评：本题主要考查线性规划的应
16、用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键三解答题：（共计80分）15（12分）设函数，（0），x（，+），且以为最小正周期（1）求f（0）；（2）求f（x）的解析式；（3）已知，求sintan的值考点：三角函数的恒等变换及化简求值；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）代入已知关系式即可求得f（0）；（2）利用正弦函数的周期公式即可求得，从而可得f（x）的解析式；（3）由由f（+）=，可求得cos的值，从而可求得sintan的值解答：解：（1）由题设可知f（0）=3sin（）=（2分）（2）f（x）的最小正周期，=4（5分）f（x）=3
17、sin（4x+）（6分）（3）由f（+）=3sin（+）=3cos=，（9分）cos=，sin2=，sintan=（12分）点评：本题考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的恒等变换及化简求值，属于中档题16（12分）如图，三棱锥ABCD中，AB平面BCD，CDBD（）求证：CD平面ABD；（）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥AMBC的体积考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：（）证明：CD平面ABD，只需证明ABCD；（）利用转换底面，VAMBC=VCABM=SABMCD，即可求出三棱锥AMBC的体积解
18、答：（）证明：AB平面BCD，CD平面BCD，ABCD，CDBD，ABBD=B，CD平面ABD；（）解：AB平面BCD，BD平面BCD，ABBDAB=BD=1，SABD=，M为AD中点，SABM=SABD=，CD平面ABD，VAMBC=VCABM=SABMCD=点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥AMBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键17（14分）已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x+6=0的根（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和考点：数列的求和；等差数列的通项公式 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从
19、而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和解答：解：（1）方程x25x+6=0的根为2，3又an是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故an=2+（n2）=n+1，（2）设数列的前n项和为Sn，Sn=，Sn=，得Sn=，解得Sn=2点评：本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式18（14分）已知数列an的前n项和Sn=，nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=2+an，求数列bn的前n项和考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（1）当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1即可得出；（
20、2）由（1）知，bn=2n+n利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1=n故数列an的通项公式为an=n（2）由（1）知，bn=2n+n记数列bn的前n项和为Tn，则Tn=（21+22+2n）+（1+2+n）=故数列bn的前n项和为点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19（14分）如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC=，EA=2，ADC=，BEC=（）求sinCED的值；（）求BE的长考点：余弦定理的应用；正弦定理 专题：解三角形分析：（）
21、根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论（）利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论解答：解：（）设=CED，在CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED22CDDEcosCDE，即7=CD2+1+CD，则CD2+CD6=0，解得CD=2或CD=3，（舍去），在CDE中，由正弦定理得，则sin=，即sinCED=（）由题设知0，由（）知cos=，而AEB=，cosAEB=cos（）=coscos+sinsin=，在RtEAB中，cosAEB=，故BE=点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大20（14分）在直角坐标系xOy
22、中，一次函数y=kx+b+2（k0）的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B（1）用b和k表示AOB的面积SAOB；（2）若AOB的面积SAOB=|OA|+|OB|+3用b表示k，并确定b的取值范围；求AOB面积的最小值考点：二次函数的性质；基本不等式在最值问题中的应用 专题：直线与圆分析：（1）分别求出直线和坐标轴的交点保证即可用b和k表示AOB的面积SAOB；（2）根据三角形的面积公式，利用基本不等式进行求解即可解答：解：（1）令x=0，得y=b+2（b2）；令y=0，得点，（5分）（2）由题意得，解得，结合b2，解得b0故k=，b0（10分）由得SAOB=b+7=7+2，当且仅当b=，即b=时取等号，故AOB面积的最小值为7+2点评：本题主要考查直线方程的应用，以及三角形面积的计算，利用基本不等式的性质是解决本题的关键
