1、等差数列的前n项和（二）河口一中DONGYINGSHIHEKOUQUDIYIZHONGXUE等差数列的前n项和公式:2)1nnaanS（dnnnaSn2)11（形式1:形式2:复习回顾1nnn(aa)2s1n(n1)nad21anan前100个自然数的和：1+2+3+100=；前n个奇数的和：1+3+5+(2n-1)=前n个偶数的和：2+4+6+2n=思考题：如何求下列和？5050n2n(n+1)1.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？2)1(1dnnnaSn当d0时,Sn是常数项为零的二次函数 21()22nddSnan则Sn=An2+Bn令1,22ddAB
2、a【说明】推导等差数列的前n项和公式的方法叫；等差数列的前n项和公式类同于an为等差数列，这是一个关于的没有的“”倒序相加法梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项二次函数（注意 a 还可以是 0）例1 已知数列an中Sn=2n2+3n，求证：an是等差数列.例1、若等差数列an前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。，dada89219634214211解之得：15715181da解：设首项为a1，公差为d，则有：。n3043n307)157(1)n(n21n1518S2n设 Sn=an2+bn，依题意得：S4=2,S9=6,99644222baba即解之得：,3043307ban
3、。nSn30433072 另解：等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得113 133 211 1311 1022dd d=2113(1)(2)2nSnn n 214nn 2(7)49n 当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=20当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为31172n7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中
4、,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=2当n=7时,Sn取最大值49.an=13+(n-1)(-2)=2n+15由100nnaa 得152132nna7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=20a70,a8 0,前n项和为Sn，Sm=Sl,问:n为何值时，Sn最大？例1的变式题一：等差数列an中，首项a1，S3=S11，问：这个数列的前
5、几项的和最大？例2：已知数列an是等差数列，且a1=21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。的前n项和为 ,当n为何值时，最大，数列 的通项公式ns nans na已知 求：例3设等差数列0,24113sa求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.21()22nddSnan方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an0且an+10求得.当a10时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.练习:已知数列an的通项为an
6、=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为()A.12 B.13 C.12或13 D.14C2.等差数列an前n项和的性质性质1:Sn,S2nSn,S3nS2n,也成等差数列,公差为在等差数列an中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(mp),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(mp),则 Sp+m=n2d0-(m+p)性质4:为等差数列.nSn两等差数列前n项和与通项的关系性质6:若数列an与bn都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则nnab 2121nnST例1.设等差数列an的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63 B.4
7、5 C.36 D.27例2.在等差数列an中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+a99=60,a2+a4+a6+a100=()A.85 B.145 C.110 D.90BA3.等差数列an前n项和的性质的应用例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为110例4.两等差数列an、bn的前n项和分别是Sn和Tn,且71427nnSnTn求和55abnnab556463ab 146823nnanbn等差数列an前n项和的性质的应用例5.一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为.例6.(0
8、9宁夏)等差数列an的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例7.设数列an的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+|a15|=.510153等差数列an前n项和的性质的应用例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S13013a1+136d02437d 等差数列an前n项和的性质(2)11(1)2nSnan nd1(122)(1)2ndn nd25(12)22ddnnSn图象的对称轴为5122nd由(1)知2437d 由上得51213622d1362n即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.Sn有最大值.练
9、习1 已知等差数列25,21,19,的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.练习2:求集合 的元素个数，并求这些元素的和.60,12 mNnnmmM练习3：已知在等差数列an中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使 Sn0,S130。(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,S12中哪个值最大，课下练：1:等差数列an的前项和Sn满足S5=95,S8=200,求Sn。2:若数列an的前项和Sn满足Sn=an2+bn,试判断an是否是等差数列。baba86420052595设Sn=an2+bn,则有：。解之得：，92baSn=3n2+n。1、2、是。简单提示：利用公式：)2()1(111nSSanSannn3、（1），（2）S6最大。3724d提示：