1、秘密启用前2007年广州市普通高中学生学业水平测试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页. 满分100分. 考试用时120分钟.第一部分 选择题（共24分）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分 （1）已知全集, 集合则CU A=（A） （B） （C） （D）（2）函数的定义域是（A） （B） （C） （D）（3）已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则向量a+b表示（A）向东南航行km (B)向东南航行2km（C）向东北航行km (D)向东北航行2km （4）在下列命题中, 错误的是（A）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（
2、B）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行（C）如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线垂直（D）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行（5）直线与圆的位置关系是（A）相交且直线过圆心 （B）相切 （C）相交但直线不过圆心（D）相离（6）不等式x2 - y20所表示的平面区域(阴影部分)是（A） （B） （C） （D）（7）已知空间直角坐标系中有一点，点是平面内的直线 上的动点，则两点的最短距离是（A） （B） （C）3 （D）（8）如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一 个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内 任何一点是
3、等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是（A） （B） （C） （D）第二部分 非选择题（共76分）二、填空题：本大题共7小题，其中（9）（12）是必做题，（13）（15）是选做题，要求考生只从（13）、（14）、（15）题中任选2题作答. 每小题3分，满分18分. 第（12）小题的第一个空1分、第二个空2分（9）已知ii，其中是实数，i是虚数单位，则= .（10）已知则= . （11）若的展开式中第三项的系数为10，则= . （12） 已知函数 则 ，= .EBCDFA（13）如图，平行四边形中, , 若的面积等于cm, 则的面积等于 cm. （14）把参数方程(为参数)化为普通方程是
4、. （15）如果不等式对R恒成立，则实数的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共58分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.（16）（本小题满分10分）设等差数列的前项和为, 已知.（）求首项和公差的值;（）若，求的值.（17）（本小题满分8分) 同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，两颗骰子向上的点数之和记为.（）求的概率;（）求的概率.（18）(本小题满分10分) 已知函数的最小正周期为，其图像过点.() 求和的值;() 函数的图像可由（xR）的图像经过怎样的变换而得到?AFPDCB（19）(本小题满分10分) 如图，已知四棱锥的底面是菱形,
5、平面,点为的中点.（）求证:平面;（）求二面角的正切值.（20）（本小题满分10分）已知R,函数R,为自然对数的底数).（）当时,求函数的单调递增区间;（）若函数在上单调递增,求的取值范围;（）函数是否为R上的单调函数，若是，求出的取值范围；若不是，请说明理由.（21）（本小题满分10分）如图，已知椭圆:的离心率为，左、右焦点分别为和，椭圆与轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点（不与点A、B重合），且APB=，F1PF2.（）若，三角形F1PF2的面积 为，求椭圆的方程；（）当点在椭圆上运动，试证明 为定值.2007年广州市普通高中学生学业水平测试数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择
6、题：本大题主要考查基本知识和基本运算共8小题，每小题3分，满分24分 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADACDCBB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共7小题，其中（9）（12）是必做题，（13）（15）是选做题，要求考生只从（13）、（14）、（15）题中任选2题作答. 每小题3分，满分18分. 第（12）小题的第一个空1分、第二个空2分（9）0 （10） （11）5 （12）3；6 （13） （14） （15）三、解答题(16) (本小题满分10分) 解: () , 4分 解得 6分()由,得, 8分解得或(舍去). . 10分（17）(本小题满分
7、8分) 解: () 掷两颗质地均匀的骰子，两颗骰子向上的点数之和的所有结果如下表所示:1点2点3点4点5点6点1点2345672点3456783点4567894点56789105点678910116点789101112 显然，的取值有11种可能，它们是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. 3分 点数和为5出现4次, . 答：的概率是. 5分 () 点数和为2出现1次, 点数和为3出现2次, 点数和为4出现3次,. 答：的概率是. 8分（18）(本小题满分10分) 解: () 函数的最小正周期为， . 2分 . 3分. 的图像过点, 即. 4分 , . 6分()先把的图像上所有点向
8、左平移个单位(纵坐标不变),得到函数的图像,再把所得的函数图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)得到函数的图像. 10分（19）(本小题满分10分) ()证明: 连结，与交于点，连结. 是菱形, 是的中点. 点为的中点, . 2分OAHFPDCB平面平面, 平面. 4分()解法一: 平面,平面, . . 是菱形, . ，平面. 6分 作，垂足为，连接，则,所以为二面角的平面角. 8分,.在Rt中, = .二面角的正切值是. 10分解法二：如图，以点为坐标原点，线段的垂直平分线所在直线为轴，所在直线zyxFPDCBA为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，令，则，,.设平面的一个法向
9、量为n,由nn,得 得令，则， n. 6分 平面,平面, . . 是菱形,. 平面.是平面的一个法向量, . 8分二面角的正切值是. 10分（20）(本小题满分10分) 解: () 当时, . 1分令,即,. 解得.函数的单调递增区间是. 3分() 函数在上单调递增,对都成立,对都成立. 4分对都成立,即对都成立.令,则.在上单调递增. . 6分() 若函数在R上单调递减,则对R都成立,即对R都成立, 对R都成立. ,即,这是不可能的.故函数不可能在R上单调递减. 8分若函数在R上单调递增,则对R都成立,即对R都成立, 对R都成立. 而,故函数不可能在R上单调递增.综上可知函数不可能是R上的单调函数. 10分（21） (本小题满分10分) 解：（）由于三角形F1PF2为直角三角形，则，即， 三角形F1PF2的面积为， ，即， ，即，. 2分椭圆C的离心率为，则，即，椭圆的方程为 4分（）不妨设点在第一象限，则在三角形中，, 即，. ，即. 6分作轴，垂足为. ， . ， . . 8分 ，离心率，.是定值, 其值为. 10分