1、第二章 函 数2.2 一次函数和二次函数2.2.3 待定系数法自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式2通过待定系数法求函数解析式，掌握待定系数法的特征及应用，从而提高对事物相互联系和相互转化的认识.1待定系数法一般地，在求一个函数解析式时，如果知道这个函数的_，可先把所求函数写为_，其中_待定，然后再根据题设条件求出这些_这种通过_来确定_的方法叫做待定系数法一般形式一般形式系数待定系数求待定系数变量之间关系式2几种基本初等函数的解析式(1)正比例函数的一般形式是_(2)一次函数的一般形式是_.(3)反比例函数的一般形式是 ykx(
2、k0，k 是常数)ykx(k0，k 是常数)ykxb(k0，k，b 是常数)(4)二次函数有三种常见形式，求解析式时，要根据具体情况，设出适当的形式：一般式 yax2bxc(a0)，这是二次函数的标准形式；顶点式 ya(xh)2k(a0)，其中(h，k)是抛物线的顶点；零点式 ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 x1，x2 是方程 ax2bxc0 的两个实数根，即抛物线与 x 轴两交点的横坐标当选用顶点式或零点式求二次函数解析式时，最后的结果通常化为一般式1已知一个反比例函数的图象过(2,8)点，则这个函数的解析式为()Ay4xBy4xCy16xDy16x解析：设函数的解析式为 ykx(k
3、0)，将(2,8)代入得 8k2，k16，函数的解析式为 y16x，故选 C答案：C2已知一次函数的图象过点(1,3)，(3,4)，则这个函数的解析式为()Ay12x52By12x52Cy12x52Dy12x52解析：设函数的解析式为 ykxb(k0)，则3kb，43kb，解得 k12，b52，故选 B答案：B3二次函数的图象过原点，且顶点为(1,2)，那么此二次函数的解析式为_解析：设二次函数的解析式为 ya(x1)22，过原点(0,0)，a20，a2，y2(x1)22.答案：y2(x1)22典例精析 规律总结课堂互动探究1类型 用待定系数法确定一次函数的解析式 已知一次函数的图象与 x 轴
4、交于点 A(6,0)，又与正比例函数图象交于点 B，点 B 在第一象限且横坐标为 4，如果AOB(O 为原点)的面积为 15，求这个正比例函数和一次函数的解析式【分析】首先设出正比例函数和一次函数的解析式，再结合图形求出待定系数【解】点 B 在第一象限，且横坐标为 4，设 B(4，m)(m0)由草图可知，SAOB12OAm，15126m，得 m5.设正比例函数和一次函数的解析式分别为yk1x(k10)和 yk2xb(k20)把 B(4,5)代入 yk1x，得 k154，y54x.把 B(4,5)，A(6,0)代入 yk2xb，得4k2b5，6k2b0，解得k252，b15.y52x15.已知
5、yf(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式为_，该函数的值域为_解析：当 x0,2时，设 f(x)k1xb1(k10)，过(0,2)，(1,0)，则b12，k1b10，k12，b12，f(x)2x2；当 x3,5时，设 f(x)k2xb2(k20)，过(3，2)，(5,0)，则3k2b22，5k2b20，答案：f(x)2x2，0 x2，2，2x3，x5，3x5 2,2k21，b25.f(x)x5.f(x)2x2，0 x2，2，2x3，x5，3x5.值域为2,22用待定系数法解决二次函数问题类型 已知 yf(x)的定义域为1,4，f(1)2，f(2)3，当x1,2时，f(x)的图象为线段，当
6、 x2,4时，f(x)的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为(3,1)(1)求 f(x)的解析式；(2)画出 f(x)的图象并求 f(x)的值域【解】(1)当 x1,2时，设 f(x)kxb(k0)，由 f(1)2，f(2)3 得kb2，2kb3.k1，b1，f(x)x1.当 x2,4时，设 f(x)a(x3)21(a0)，由 f(2)3 得 a13，a2.f(x)2(x3)21，f(x)x1，x1，2，2x321，x2，4.(2)f(x)的值域为1,3【知识点拨】一般来说，求几个待定系数的值，就根据条件列出几个方程善于挖掘题目的隐含条件，找出变量之间的数学表达式是用待定系数法求解的关键 求满
7、足下列条件的二次函数解析式(1)已知二次函数的图象经过点 A(3,0)，B(0，3)，C(2,5)三点；(2)已知顶点坐标为(4,2)，点(2,0)在函数图象上；(3)已知 yx24xh 的顶点 A 在直线 y4x1 上解：(1)设所求函数为 yax2bxc(a0)，其中 a，b，c待定，根据已知条件得9a3bc0，c3，4a2bc5，解得a1，b2，c3，因此所求函数为 yx22x3.(2)设所求函数为 ya(x4)22(a0)，其中 a 待定根据已知条件得 a(24)220，解得 a12.因此所求函数为 y12(x4)2212x24x6.(3)yx24xh(x2)2h4，顶点 A(2，h4
8、)由已知得421h4，h5，因此所求函数为 yx24x5.3待定系数法的综合应用类型 (1)如果函数 f(x)x2abxc(b，cN)满足 f(0)0，f(2)2，且 f(2)12，求 f(x)的解析式；(2)已知 6x2x1(2x1)(axb)，求 a，b 的值【解】(1)由 f(0)0，f(2)2，可得ac0，4a2bc2，a0，2bc2，f(x)x2bx2b2，又 f(2)12，44b212，即12b52，又bN，b1，c0或b2，c2.cN，b2，c2，f(x)x22x2(x1)(2)解法一：(2x1)(axb)2ax2(2ba)xb，6x2x12ax2(2ba)xb.根据多项式恒等，
9、对应项系数相等得2a6，2ba1，b1，解得a3，b1.解法二：已知等式对任意的实数 x 都成立，取 x0 和 x1 得11b，41ab，解得a3，b1，易证a3，b1就是所求的值 若 x(2x22x1)3(x1)f(x)，且f(x)m 对一切 xR 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A(，1)B(，1C(，1)D(，1解析：x(2x22x1)3(x1)f(x)，设 f(x)ax2bxc(a0)，则(x1)f(x)(x1)(ax2bxc)ax3(ab)x2(bc)xc2x32x2x3.a2，ab2，bc1，c3，解得a2，b4，c3.f(x)2x24x32(x1)211，当且仅当 x1 时，
10、f(x)有最小值 1.又 f(x)m 对一切 xR 恒成立，故 m1.答案：D即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 二次函数的解析式1已知二次函数的图象过点(3,2)，顶点坐标为(2,3)，则二次函数的解析式为()Ayx24x1 Byx24x1Cyx24x1 Dyx24x1解析：二次函数的顶点坐标为(2,3)，设该二次函数为 ya(x2)23(a0)，又函数图象过点(3,2)，2a(32)23，a1，二次函数为 y(x2)23x24x1.答案：C2若函数 f(x)x2bxc，且 f(1)0，f(3)0，则 f(1)的值是()A0 B8C7 D9解析：由 f(1)0，f(3)0，可得1bc0，
11、93bc0，解得b4，c3.f(1)1bc8，故选 B答案：B知识点二 待定系数法的综合应用3已知 f(x)x21，g(x)是一次函数且是增函数，若 fg(x)9x26x2，则 g(x)为()Ag(x)3x2 Bg(x)3x1Cg(x)3x2 Dg(x)3x1解析：设 g(x)kxb(k0)，fg(x)f(kxb)(kxb)21k2x22kbxb21，k29，2kb6，b212，k3，b1，g(x)3x1.答案：B知识点三 一次函数的解析式4若一次函数 yf(x)在区间1,3上的最小值为 1，最大值为 3，则 f(x)的解析式为_解析：设 f(x)kxb(k0)，由题可知kb1，3kb3或kb3，3kb1，解得k12，b32或k12，b52，f(x)12x32或 f(x)12x52.答案：f(x)12x32或 f(x)12x525已知抛物线在 x3 时，取最大值1，且抛物线过点(4，3)，则抛物线方程为_解析：x3 时，抛物线有最大值为1，可设抛物线方程为 ya(x3)21(a0)，又抛物线过点(4，3)，3a(43)21，a2，抛物线方程为 y2(x3)212x212x19.答案：y2x212x19word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块