1、第二章 函 数2.3 函数的应用()自主学习 梳理知识课前基础梳理|目 标 索 引|1掌握一次函数，二次函数模型的应用，会解决简单的实际问题2通过实际问题的解决，提高阅读理解能力，建模能力，分析问题和解决问题的能力.数学建模的一般步骤数学建模一般分为_、析模、_、解模、验模五个步骤识模就是把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照，初步判断问题解决的方向；析模就是精读问题，做到“咬文嚼字”，抓住关键词，化简、转换问题，注意已知量，发现未知量，挖掘隐含量；识模建模建模是通过数学符号化，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本身的繁杂性、开放
2、性，根据自己理解所建立的模型也有局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修正模型，直到满意为止数学建模的五个环节可用框图表示如下1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元，普通车存车费是每辆一次 0.2 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是()Ay0.1x800(0 x4 000)By0.1x1 200(0 x4 000)Cy0.1x800(0 x4 000)Dy0.1x1 200(0 x4 000)解析：y0.2x0.3(4 000 x)0.1x1 200，故选 D答案：D2某
3、产品的利润 y 元关于产量 x 的函数关系为 yx220 x1 500，则利润 y 的最大值为()A1 500 B1 600C1 700 D1 000解析：yx220 x1 500(x10)21 600，当 x10 时，ymax1 600，故选 B答案：B3化工厂在一月份生产某种产品 200 t，三月份生产 y t，则 y 与平均增长率 x 之间的关系是()Ay200 xBy200 x2Cy200(1x)Dy200(1x)2解析：由题可知 y200(1x)2，故选 D答案：D典例精析 规律总结课堂互动探究1一次函数模型的应用类型 某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价 20 元，茶杯每个定价 5
4、元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶送一个茶杯；(2)按总价的 92%付款某顾客需购茶壶 4 个，茶杯若干个(不少于 4 个)，若以购买茶杯数为 x 个，付款数为 y 元，试分别建立两种优惠办法中 y与 x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱？【分析】先分别求出各优惠办法所对应的函数关系式，再结合关系式比较哪种更优惠【解】由优惠办法(1)可得函数关系式为y12045(x4)5x60(x4，xN)，由优惠办法(2)可得函数关系式为y2(5x204)92%4.6x73.6(x4，xN)，对以上两种优惠办法作比较得y1y20.4x13.6(x4，xN)，令 y1
5、y20，得 x34；令 y1y2，得 4xy2，得 x34.可知当购买 34 个茶杯时，两种办法付款相同；当购买的茶杯数不少于 4 个且少于 34 个时，优惠办法(1)省钱；当购买的茶杯数多于 34 个时，优惠办法(2)省钱 中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过 3 500 元的部分不必纳税，超过3 500 元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率(%)不超过 1 500 元的部分3超过 1 500 元至 4 500 元的部分10超过 4 500 元至 9 000 元的部分20(1)若某人一月份应缴纳此项税款为 280 元，那么他当月
6、的工资、薪金所得是多少？(2)假设某人一个月的工资、薪金所得是 x 元(0 x10 000)，试将其当月应缴纳此项税款 y 元表示成关于 x 的函数解：(1)1 5003%45,28045235，23510%2 350，此人当月的工资、薪金所得为3 5001 5002 3507 350(元)(2)y00 x3 500，0.03x1053 500 x5 000，0.1x4555 000 x8 000，0.2x1 2558 0005，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数 yf(x)的解析式(利润销售收入总成本)；(2)甲厂生产多少台新产品
7、时，可使盈利最多？解：(1)由题意得 G(x)3x.f(x)R(x)G(x)0.4x23.2x2.80 x5，8.2xx5.(2)当 x5 时，函数 f(x)递减，f(x)8.253.2(万元)当 0 x5 时，f(x)0.4(x4)23.6，当 x4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)故当工厂生产 4 百台时，可使赢利最大为 3.6(万元).3拟合函数及其应用举例类型 某扬声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用 AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板，长期以来，由于 AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量，经过实验，已有
8、一些恰当用胶量的具体数据：序号磁钢面积/cm2用胶量/g111.00.164219.40.396326.20.404446.60.664556.60.812667.20.9727125.21.6888189.02.869247.14.07610443.47.332现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系【分析】由上表中的各组数据来寻找磁钢面积与用胶量的规律，通常的方法是描绘出这些数据在平面直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，用数据待定出函数表达式【解】我们取磁钢面积 x 为横坐标、用胶量 y 为纵坐标，建立平面直角坐
9、标系，根据上表数据在平面直角坐标系中描点，得出下图从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近，画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧用函数 yaxb(a0)表示用胶量与磁钢面积的关系取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入 yaxb(a0)，得方程组0.81256.6ab，2.86189.0ab，解得a0.015 47，b0.063 60.这条直线是 y0.015 47x0.063 60.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y4x，1x10，xN，2x10，10 x100，xN，1.5x，x100，xN，其中，x 代表拟录用
10、人数，y 代表面试人数若应聘的面试人数为 60，则该公司拟录用人数为()A15 B40C25 D130解析：由题可知若 4x60，x1510，不符合题意；若 2x1060，x25，符合题意；若 1.5x60，x40100，不符合题意，所以拟录用 25 人，故选 C答案：C即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 函数的应用1.某幢建筑物，从 10 m 高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)如图所示，如果抛物线的最高点 M 离墙1 m，离地面403 m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是()A2 m B3 m C4 m D5 m解析：由题可设抛物线的解析
11、式为 ya(x1)2403，则 x0 时，y10，a403 10，a103，令 y0，得103(x1)2403 0，解得 x1(舍)，x3，故选 B答案：B知识点二 二次函数的应用2用一根长为 12 m 的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_解析：设矩形一边长为 x m，则另一边长为122x2(6x)m，面积 Sx(6x)x26x(0 x6)，当 x3 时，Smax32189(m2)答案：9 m23某电影院共有 1 000 个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过 10 元时，票可全售出；当每张票价高于 10 元时，每提高 1 元，将有 30 张票不能售出，
12、为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：为了方便找零和算账，票价定为 1 元的整数倍；电影院放一场电影的成本费用支出为 5 750 元，票房的收入必须高于成本支出，用 x(元)表示每张票价，用 y(元)表示该影院放映一场的净收入(除去成本费用支出后的收入)问：(1)把 y 表示为 x 的函数，并求其定义域；(2)试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收入最多？解：(1)电影院共有 1 000 个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为 5 750 元，票房的收入必须高于成本支出，x5 7501 0005.75.所以票价最低为 6 元，票价不超过 10
13、元时，y1 000 x5 750；当票价高于 10 元时，yx1 00030(x10)5 75030 x21 300 x5 750，又1 00030 x100，30 x21 300 x5 7500，5x3813，y30 x21 300 x5 750(10 x38，xN*)y1 000 x5 750，5x10 xN*，30 x21 300 x5 750，10 x38xN*.(2)当 5x10，xN*，y1 000 x5 750 是增函数，当 x10 时，ymax4 250 元；当 10 x38，xN*，y30 x21 300 x5 750 的对称轴x653 时 y 最大，票价定为 22 元时，净收入最多为 8 830 元word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块