1、等差数列（二）河口一中DONGYINGSHIHEKOUQUDIYIZHONGXUE2、等差数列的通项公式1(1).naand1、等差数列的定义1(nnaad d 是常数）.3、等差数列的中项2abA 复习通项公式的证明及推广m(nm).naad3 13 1与100与180例 已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.()()12()()48adaadad a ad解：设三个数为a-d，a，a+d，则解之得42ad 故所求三数依次为2，4，6或6，4，2练习：成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。四个数等差的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3
2、d 公差为2d。例6 如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以 AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？ADCB3，7，11a9=35S9=1225(napnqpq 已知数列的通项公式是其中，是常数），那么这个数列是否一定是等思考：差数列？112)()(1)().nnnnnnaaa naapnqp nqpnqpnpqpna取数列中的任意相邻两项与（，这是一个与 无关的常数，所以是等差数列.5、等差数列的通项及图象特征napnq等差数列的通项公式可反之：以
3、 表示为吗？解析:111(1)(),.nnaanddnadpdqadapnq设，则 思考n等差数列的通项公式是关于 的形式，反之 一次亦成立。结论:一 条其直图象线 为落在上的点。首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an 2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：等差数列的性质已知数列为等差数列，那么有n a 性质1：若成等差数列，则成等差数列.*m,p,n(m,p,n N)mpna,a,a证明：根据等差数列的定义，m,p,n,成等差数列pmnp,(pm)d(np)d.pmnpaaaa.即成等差数列.mpna,a,a如成等差数列，成等差数列.1611
4、a,a,a369a,a,a推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）性质2：设若则 *m,n,p,qNmnpqaaaa.mnpq,性质3：设 c,b 为常数，若数列为等差数列，则数列及为等差数列.nanabnc ab性质4：设 p,q 为常数，若数列、均为等差数列，则数列为等差数列.nannp aq b nb 111111(1)(1)2()2,(1)(1)2()2,.mnpqmnpqaaamdandanm ddaaapdaqdapq ddaaaa证明：性质五、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（1）将前m项去掉，其余
5、各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m性质五、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，是等差数列首项为a1，公差为2d取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，是等差数列首项为a2，公差为2d性质五、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，
6、a21，是等差数列首项为a7，公差为7d取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，是等差数列首项为ak，公差为kd性质五、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，an（4）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列，公差为2d数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，公差为3d。例：963852741aaa,13aaa19,aaa求等差数列中，性质六、1、若数列an为等差数列，公差为d，则kan也为等
7、差数列，公差为kd。2、若数列an与bn都为等差数列，则an+bn也为等差数列，an-bn也为等差数列，pan+qbn也为等差数列。20082008989811nnba,15b,85a,66b,34aba求中，和例：等差数列例（1）已知等差数列an中，a3 a15=30,求a9，a7a11解：（1）a9是a3和a15的等差中项（2）已知等差数列an中，a3 a4a5 a6 a7=150，求a2a8的值1523021539aaa7+11=3+15（2）3+7=4+6=5+5 a3 a4a5 a6 a7=5 a5=150即a5=30故a2a8=2 a5=60 a7a11=a3 a15=30 a3a
8、7=a4 a6=2 a5如何判断一个数列为等差数列为等差数列常数）（定义法：a)1n(daa)1(n1nn)(a)1n(aa2a)2(n2nn1n也叫等差中项法为等差数列常数）（递推法：为等差数列的一次函数为通项法：ana)3(nn（1）等差数列an中，a3 a9a15a21=8，则a12=（2）已知等差数列an中，a3 和a15是方程x26x1=0的两个根，则a7 a8 a9a10a11=2215（3）已知等差数列an中，a3 a5=14,2a2a6=15，则a8=19 跟踪训练2A BC D1-nnnnnnnnnnabbabababa思考：已知数列是等差数列，则数列为等差数列的是（）、D564n求a10,aa为等差数列，练习1：已知a10181381n求a100,aaaa为等差数列，练习2：已知a求数列通项公式21,aaa9,aaa为等差数列，：已知a变式753852n2d,求a187,aa56,aaaa为等差数列，变式1：已知a1747654n