1、北京市西城区2017 2018学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1A 2D 3C 4D 5D 6C 7B 8C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10， 1112 13 14；注：第10，14题第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分）解：（）因为 4分 5分 ， 7分所以的最小正周期 8分（）因为 ，所以 10分当 ，即时， 11分取得最大值为 13分 16（本小题满分13分）解：（）记事件A为“从表1
2、的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”， 1分在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7:00，所以 3分（）X可能的取值为 4分 记事件B为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7:00”，则 ， 5分 ； ； 8分所以 X 的分布列为：X012P 10分注：学生得到X ，所以，同样给分（） 13分17（本小题满分14分）解：（）因为 平面，所以 1分因为 三棱柱中，所以 四边形为菱形，所以 3分 所以 平面 4分 （）因为 ，平面，所以 平面 5分 因为 平面平面，所以 6分 因为 平面平面，平面平面，平面平面， 所以 7分 所以 四边形为平行四边形 8分
3、（）在平面内，过作因为 平面， 如图建立空间直角坐标系 9分由题意得，因为 ，所以 ， 所以 由（）得平面的法向量为 设平面的法向量为， 则 即 令，则，所以 11分所以 13分由图知 二面角的平面角是锐角，所以 二面角的大小为 14分18（本小题满分13分）解：（）当时，所以 2分 因为 ， 4分所以曲线在点处的切线方程为 5分 （） 6分由 ，得 7分因为 ，所以 8分当 时， 由 ， 得 所以 存在唯一的， 使得 9分与在区间上的情况如下：极大值所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减 11分因为 ， 12分且 ，所以 在区间上恰有2个零点 13分19（本小题满分14分）解：（）由题意得
4、 ， 所以 2分因为 ， 3分所以 ， 4分所以 椭圆的方程为 5分（）若四边形是平行四边形，则 ，且 . 6分所以 直线的方程为，所以 ， 7分设，由 得， 8分由，得 且， 9分所以 . 10分因为 ， 所以 整理得 ， 12分解得 ，或 13分经检验均符合，但时不满足是平行四边形，舍去所以 ，或 14分20（本小题满分13分）解：（） 3分 注：只得到 或只得到 给 1分，有错解不给分（）当时，设数列中出现频数依次为，由题意 假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以 同理可证： 5分 假设，则存在唯一的，使得那么，对，有 （两两不相等），与已知矛盾，所以 7分 综上：， 所以 8分（）设出现频数依次为同（）的证明，可得，则 取， ，得到的数列为： 10分下面证明满足题目要求对，不妨令， 如果或，由于，所以符合条件； 如果或，由于， 所以也成立； 如果，则可选取；同样的，如果， 则可选取，使得，且两两不相等； 如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等因此满足题目要求，所以的最小值为 13分
