1、质量检测(一)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2 B C2 D1解析所得旋转体是底面半径为1，高为1的圆柱，其侧面积S侧2Rh2112.答案A2教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线()A平行 B垂直 C相交 D异面解析当直尺垂直于地面时，A不对；当直尺平行于地面时，C不对；当直尺位于地面上时，D不对答案B
2、3设球内切于圆柱，则此圆柱的全面积与球表面积之比是 ()A11 B21C32 D43解析圆柱的底面直径与高都等于球的直径，设球的直径为2R，则圆柱的全面积S12R22R2R6R2，球的表面积S24R2，.答案C4已知m、n是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题正确的是()A若、垂直于同一平面，则与平行B若m、n平行于同一平面，则m与n平行C若、不平行，则在内不存在与平行的直线D若m、n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析A项，、可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m，n，mn，则m，故错误；D项，假设m、n垂直于同一平面，则必有m
3、n，所以原命题正确，故D项正确答案D5已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1V2()A13 B11 C21 D31解析V1V2(Sh)31.答案D6.如图，OAB是水平放置的OAB的直观图，则OAB的面积为()A6 B3C6 D12解析OAB是直角三角形，OA6，OB4，AOB90，SOAB6412.答案D7某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A60 B30 C20 D10解析由三视图画出如图所示的三棱锥PACD，过点P作PB平面ACD于点B，连接BA，BD，BC，根据三视图可知底面ABCD是矩形，AD5，CD3，PB4，所以V三棱锥PACD354
4、10.故选D.答案D8如图所示，将等腰直角ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时BAC60，那么这个二面角大小是()A90 B60C45 D30 解析如图，连接BC，则ABC为等边三角形，设ADa，则BDDCa，BCACa，所以BDC90.答案A9已知互相垂直的平面、交于直线l.若直线m、n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn解析选项A，只有当m或m时，ml；选项B，只有当m时，mn；选项C，由于l，nl；选项D，只有当m或m时，mn，故选C.答案C10已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且ABCD，ADBC，则直线BD与AC()A垂直 B平行C相交 D位置关系不确定解
5、析过点A作AO平面BCD，垂足为O，连接BOABCD，由三垂线定理可得BOCD.同理DOBC，O为ABC的垂心所以COBD，BDAO，COAOO，BD平面ADC，所以BDAC.故选A.答案A11设a，b是异面直线，则以下四个结论：存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面；存在分别经过直线a和b的两个平行平面；经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b；经过直线a有且只有一个平面平行于直线b.其中正确的个数有()A1 B2 C3 D4解析对于，可在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，当
6、这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断错误；对于，假设过直线a有两个平面，与直线b平行，则面，相交于直线a，过直线b做一平面与面，相交于两条直线m，n都与直线b平行，可得a与b平行，所以假设不成立，所以正确，故选C.答案C12如图，一个正三棱柱的主视图是边长为的正方形，则它的外接球的体积等于()A8 B. C9 D.解析因为正三棱柱ABCDEF的主视图是边长为的正方形，所以正三棱柱的高是，底面正三角形的高也是.设它的外接球的球心为O，半径为R，底面ABC的中心为G，所以OGA是直角三角形，OG是高的一半，所以OG，GA是正三角形ABC的高的，所以GA.在OAG中由勾股定理得R2O
7、G2GA2，解得R2.所以球的体积为V3.故选B.答案B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为_解析连接A1C1，交B1D1于点O，很明显A1C1平面BDD1B1，则A1O是四棱锥的高，且A1OA1C1S四边形BDD1B1BDDD11结合四棱锥体积公式可得其体积为：VSh.答案14如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1MN等于_解析因为C1B1平面ABB1A1，MN平面ABB1A
8、1，所以C1B1MN.又因为MNMB1，MB1，C1B1平面C1MB1，MB1C1B1B1，所以MN平面C1MB1所以MNC1M，所以C1MN90.答案9015棱长为a的正四面体的全面积为_，体积为_. 解析因为正四面体的棱长为a，所以正四面体的底面积为Sa2a2，正四面体的表面积为S4a2a2，正四面体的底面外接圆半径为raa，正四面体的高为ha，正四面体的体积为VSha2aa3，故答案为a2，a3.答案a2a316已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_解析如图，连接OA，OB.由
9、SAAC，SBBC，SC为球O的直径，知OASC，OBSC.由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，OASC，知OA平面SCB.设球O的半径为r，则OAOBr，SC2r三棱锥SABC的体积VOA即9，r3，S球表4r236.答案36三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积解如图所示，作出轴截面因为ABC是正三角形，所以CDAC2所以AC4，AD42所以R.所以V球R33.所以球的体积等于.18. (本小题满分12分)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个
10、半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由解因为V半球R343134(cm3)V圆锥r2h4212201(cm3)134201，所以V半球V圆锥所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子19(本小题满分12分) 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点. 求证：(1)MN平面CC1D1D；(2)平面MNP平面CC1D1D.证明(1)如图，连接AC，CD1.因为ABCD为正方形，N为BD的中点，所以N为AC的中点又M为AD1的中点，所以MNCD1.因为MN平面CC1D1D，CD1平面CC1D1D，所以MN平面CC1D1D.(2)连接
11、BC1，C1D，因为B1BCC1为正方形，P为B1C的中点，所以P为BC1的中点又N为BD的中点，所以PNC1D.因为PN平面CC1D1D，C1D平面CC1D1D，所以PN平面CC1D1D.由(1)知MN平面CC1D1D，且MNPNN，所以平面MNP平面CC1D1D.20. (本小题满分12分)如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积解(1)证明：因为PAAB，PABC，ABBCB，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC
12、所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，PAACA，所以BD平面PAC，又BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE所以PADE.因为D为AC的中点所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC所以DE平面ABC所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.21. (本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，AOB60，OA72 cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)试求：(1)AD的长；
13、(2)容器的容积解(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，ADx则OD72x，由题意得即AD应取36 cm.(2)2rOD36，r6 cm圆台的高h6.Vh(R2Rrr2)6(12212662)504(cm3)即容器的容积为504 cm3.22(本小题满分12分)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解(1)证明：在图中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC，又易得CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)得A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积Sa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.