1、内蒙古通辽实验中学2020-2021学年高二数学上学期自主检测试题 理（特优班）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数等于( )A. B. C. D. 2.若是的充分不必要条件，则是的（ ）A. 允分不必要条件 B. 必要不允分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3. 定积分的值为（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列an的公差为d，a10，Sn为数列an的前n项和，则“d0”是“Z”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 5.已知在上连续可导，为其导函数，且，则（ ）A. 2e B. C. 3 D
2、. 5. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则（ ）A. 6 B. 12 C. 36 D. 42 7.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（ ）A. -2 B. C. 1 D. 28.已知函数，则函数的大致图象是（ ）AB CD9. 已知抛物线上一点P，直线，过点P作，垂足为A，圆上有一动点N，则最小值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 810.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G(00，b0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_
3、16. 已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且ABBCAD，BDAC2，BCAD，则球O的体积为_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的参数方程；（2）若，直线与曲线相交于、两点，求线段长18. 已知函数 （I）求的单调区间； （II）若在0，1上单调递增，求a的取值范围。19. 已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两点（不同于点），直线、分别交直线于点、.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以为直径的圆
4、恰好经过原点.20.如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值21. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，与轴交于，.（）求椭圆的方程；（）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.22. 已知函数，设（1）求的极值点； （2）若，求的零点个数2020-2021学年高二（上）数学试卷（特优班）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数等于( )A. B. C. D. 【答案】C2.若
5、是的充分不必要条件，则是的（ ）A. 允分不必要条件 B. 必要不允分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B3. 定积分的值为（ ）答案A A. B. C. D. 4. 等差数列an的公差为d，a10，Sn为数列an的前n项和，则“d0”是“Z”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案A5.已知在上连续可导，为其导函数，且，则（ ）A. 2e B. C. 3 D. 【答案】B 【详解】由题意，所以，因此，所以，故.故选：B5. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，P为C上一点，若，则（ ）A. 6 B. 12 C. 36 D
6、. 42 【答案】C根据抛物线的性质求出P点的横坐标，代入抛物线方程得出抛物线的纵坐标，从而解出向量的数量积.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为.，.不妨设P在第一象限，则，.故选：C.7.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数（ ）A. -2 B. C. 1 D. 2【答案】C试题分析：根据题意可知：，两曲线在点处由公共的切线，所以即：，代入解得：，所以答案为C8.已知函数，则函数的大致图象是 （ A ）AB CD9. 已知抛物线上一点P，直线，过点P作，垂足为A，圆上有一动点N，则最小值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】B【详解】设抛物线的焦点为，则，因为直线
7、为抛物线的准线，所以，所以，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立.故选：B.10.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G(00，b0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为_ 【答案】16. 已知A，B，C，D是球O上不共面的四点，且ABBCAD，BDAC2，BCAD，则球O的体积为_三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）
8、求曲线的参数方程；（2）若，直线与曲线相交于、两点，求线段的长【详解】（1）由得，即，曲线的参数方程为（为参数）（2）解法一：若，则直线参数方程为，代入，整理得，解法二：若，则直线的直角坐标方程为，曲线为圆，它的直角坐标方程为，圆心为，半径，圆心到直线的距离，18. 已知函数 （I）求的单调区间； （II）若在0，1上单调递增，求a的取值范围。【解析】（I） 当且仅当时取“=”号，单调递增。 当变化时，、的变化如下表：1+00+极大值极小值 （II）当恒成立。 由（I）可知 若上单调递减，上不单增，不符合题意；综上，a的取值范围是0，1 19. 已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于、两
9、点（不同于点），直线、分别交直线于点、.（1）求抛物线方程及其焦点坐标；（2）求证：以为直径的圆恰好经过原点.【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；（2）证明见解析.（1）将代入，得，因此，抛物线方程为，焦点坐标为；（2）设，、.因为直线不经过点，所以直线一定有斜率，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得，则由韦达定理得，.，即，显然，则点，同理可求得点的坐标为，所以，因此，以为直径的圆过原点.20.如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC3，ACB，D，E分别为线段AB，BC上的点，且CDDE，CE2EB2.(1)证明：DE平面PCD；(2)求二面角APDC的余弦值【解析】(1)
10、证明：由PC平面ABC，DE平面ABC，得PCDE.由CE2，CDDE得CDE为等腰直角三角形，故CDDE.由PCCDC，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD.(2)由(1)知，CDE为等腰直角三角形，DCE，如图，过点D作DFCE于点F，易知DFFCFE1，又已知EB1，故FB2. 由ACB，得DFAC，所以，故ACDF.以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则P(0,0,3)，A，E(0,2,0)，D(1,1,0)，(1，1,0)，(1，1,3)，.设平面PAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，由n10，n10，得故可取n1(2,1
11、,1)由(1)可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2(1，1,0)所以cosn1，n2，故所求二面角APDC的余弦值为.21. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为相圆上一点，与轴交于，.（）求椭圆的方程；（）过右焦点的直线交椭圆于、两点若的中点为，为原点，直线交直线于点.求的最大值.【答案】（I）；（II）【详解】（I）连接，由题意得，所以为的中位线，又因为，所以，且 又，得，故所求椭圆方程为.（II）联立，可得.设、，则，所以为所以的中点坐标为， 因此直线的方程为，从而点为，设，令，则，因此当，即时取得最大值.【点睛】本题考查了椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系，以及椭圆弦长公式，考查了数学运算能力.22. 已知函数，设（1）求的极值点； （2）若，求的零点个数【详解】（1）由题，定义域为，则，当时，在递增，无极值点当时，在递增，递减，递增，故的极大值点为1，极小值点为当时，在递增，递减，递增，故的极大值点为，极小值点为1.（2）当时，在上递增，在上递减，在上递增，所以的极小值为的极大值为,且设，其中，则，所以在上是增函数，所以因为，所以有且仅有1个，使得故当时，有且仅有1个零点