1、北京市第四十三中学2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题总分：150分 答题时间：90分钟 一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知全集 ，集合 ，那么集合 A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则复数 的虚部是 A. B. C. D. 3. 若 ，则 等于 A. B. C. D. 4. 已知等比数列 满足 ，则 等于 A. B. C. D. 5. 在等差数列 中，若 ，则 A. B. C. D. 6. 等差数列 的首项为 ，公差不为 ，若 ， 成等比数列，则 前 项的和为 A. B. C. D. 7. 直线 被圆 截得的弦长为 ，则 A. B. C. D. 8. 如图，点
2、是正方体 的棱 的中点，点 ， 分别在线段 ，（不包含端点）上运动，则 A. 在点 的运动过程中，存在 B. 在点 的运动过程中，不存在 C. 四面体 的体积为定值D. 四面体 的体积不为定值 二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知平行四边形 的顶点 ，则顶点 的坐标为 10. 在 展开式中，常数项为 （用数值表示） 11. 投篮测试中，每人投 次，至少投中 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 ，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 12. 已知双曲线 ： 的一个焦点是抛物线 的焦点，且双曲线 的离心率为 ，那么双曲线 的方程为 13. 已知数列 的前 项和 ，则
3、 14. 已知数列 中，则 三、解答题（共6小题；共80分）15. 设是等差数列，且，成等比数列（1）. 求的通项公式（2）. 记的前项和为，求的最小值（3）. 记 |an| 的前项和为Tn，求Tn的表达式。 16. 已知等差数列 满足 ，（1）求 的通项公式（2）设等比数列 满足 ，；问： 与数列 的第几项相等 17. 已知 ， 是椭圆 的左、右焦点（1）求椭圆 的焦点坐标和离心率；（2）过椭圆 的左顶点 作斜率为 的直线 ， 与椭圆的另一个交点为 ，求 的面积 18. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的 个小球，其中 个黑球， 个白球如果不放回的依次取出 个球回答下列问题：（1）第一次取出
4、的是黑球的概率；（2）第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率；（3）在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率 19. 一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为 、 、 、 、 的 个红球与编号分别为 、 、 、 的 个白球，从中任意取出 个球（1）求取出的 个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率；（2）求取出的 个球中恰有 个球编号相同的概率；（3）记 为取出的 个球中编号的最大值，求 的分布列与数学期望 20. 如图，在三棱柱 中， 分别为 ， 的中点，（1）求证：；（2）求二面角 的余弦值；（3）证明：直线 与平面 相交答案第一部分1. D2. C【解析】，所以 的
5、虚部为 3. B【解析】由条件概率公式得 4. D【解析】因为 为等比数列，所以 ，即 ，所以 故选D5. B【解析】由题可知：，又 ，所以 6. B【解析】在等差数列 中，记公差为 ，因为 ，且 ， 成等比数列，所以有 ，即 ，解得 或 （舍），所以 ，所以 7. A8. C【解析】A选项：易知直线 与平面 相交，点 在线段 上运动，且 在平面 内，所以 ，所以 与直线 不可能平行，故A错误；B选项：如图，以 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，设正方体 边长为 ，则 ，设 ，则 ，所以 ，则 ，又 ，且 ，所以 ，即 ，解得 ，故在 上存在点 ，当 是 靠近 的三等
6、分点时，故B错误；C选项：因为 ，且点 在线段 上运动，所以点 到平面 的距离为定值，又 的面积为定值，所以四面体 的体积为定值，故C正确；D选项：因为 ，所以 ，点 在线段 上运动，所以点 到平面 的距离为定值，又 的面积为定值，所以四面体 的体积为定值，故D错误第二部分9. 【解析】设 ，则由 ，得 ，即 解得 10. 11. 【解析】该同学通过测试的概率 12. 13. 【解析】因为 ，所以 14. 【解析】因为 ，所以 ，所以 ，故 是以 为首项， 为公差的的等差数列，所以 ，所以 ，填 第三部分15 (1) 因为是等差数列，且，成等比数列，所以，所以，解得，所以当(2) 由，得：所以
7、或时，取最小值(3) 略16. （1） 设公差为 ，首项为 ，则 解得 所以 ，（2） 设等比数列的公比为 ，首项为 ，由（）知，则 解得 所以 ， 时，得 ，所以 与 的第 项相等17. （1） 因为椭圆方程为 ，所以焦点坐标分别为 ，离心率 （2） 椭圆 的左顶点为 ，直线 的方程为 ，由 消去 ，整理可得：，解这个方程得 ，所以点 坐标为 ，所以 18. （1） 依题意，设事件 表示“第一次取出的是黑球”，设事件 表示“第二次取出的是白球”黑球有 个，球的总数为 个，所以 （2） 第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率为 （3） 在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的
8、概率为 19. （1） 设取出的 个球颜色相同且编号是三个连续整数为事件 ，则因此，取出的 个球的编号恰好是 个连续的整数，且颜色相同的概率为 （2） 设取出的 个球中恰有两个球编号相同为事件 ，则因此，取出的 个球中恰有两个球编号相同的概率为 （3） 的取值为 ，则从而 的分布列为因此， 的数学期望为20. （1） 由题意可知：因为 ， 分别为 ， 的中点所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，又因为 ， 为中点所以 ，所以 （2） 由题意可知，以 为坐标原点，分别以 ， 为 轴， 轴， 轴建立直角坐标系 ，易知 ，所以设面 的法向量为 ，设面 的法向量为 ， ， 令 ，记二面角 的平面角为 ，可知 为钝角 ，所以 （3） ，由（）可知面 的法向量为 ，所以记 与面 所成的角为 ，则 ，所以 与面 相交