1、余弦定理（二）河口一中DONGYINGSHIHEKOUQUDIYIZHONGXUE一、余弦定理1三角形任何一边的平方等于_，即a2_，b2_，c2_.2余弦定理的推论：cosA_，cosB_，cosC_.3余弦定理与勾股定理(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中令A90，则a2b2c2；令B90，则b2a2c2；令C90，则c2a2b2.(2)在ABC中，若a2b2c2，则A为_角，反之亦成立二、余弦定理的应用 利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：1已知三边，求_.2已知两边和它们的夹角，求_和_.友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四点：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之
2、间的客观规律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是_的推广，勾股定理是_的特例；(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以_；(4)运用余弦定理时，因为已知三边求_，或已知两边及夹角求_，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的 答案：其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2c22bccosA c2a22cacosBa2b22abcosC b2c2a22bc c2a2b22caa2b2c22ab 锐 直 钝 各角 第三边其他两角 勾股定理 余弦定理 知三求一角 另一边在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？在没有学习余弦定理
3、之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意但是在(0，)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论.例 1 在ABC 中，如果 a
4、bc 6(31)，求这个三角形的最小角解析：在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据已知条件判断最小边应为 a.abc 6(31)，可设 a2k，b 6k，c(31)k(k0)，最小角为角 A，由余弦定理得cosAb2c2a22bc6 31242 31 6 22，故 A45.变式训练 1 ABC 中，已知 a2，b 3，c 21，求 A.解析：cosAb2c2a22bc 32 212222 3 21 33.Aarccos 33.先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角例2 在ABC中，已知a2，b，C15，求角A、B和边c的值解析：cos15cos(4530)6 24.
5、由余弦定理知c2a2b22abcosC482 2(6 2)84 3，c 84 3 6 22 6 2.由正弦定理得 asinA csinC，sinAasinCcasin15c2 6 246 2 12，ba，sinA12，A30.B180AC135.变式训练2 如图，已知AD为ABC的内角BAC的平分线，AB3，AC5，BAC120，求AD的长分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解ABD即可求出AD长解析：在ABC中，由余弦定理：BC2AB2AC22ABACcosBAC3252235cos12049，BC7，设BDx，则DC7x，由内角平分线定理：
6、在ABD中，设ADy，由余弦定理：BD2AB2AD22ABADcosBAD.即(218)29y23y，整理得：(y158)(y98)0，y158 或 y98(舍去)，AD 的长为158.例3 在ABC中，acosAbcosB，试确定此三角形的形状解析：解法 1：由 acosAbcosB 以及余弦定理得ab2c2a22bcba2c2b22ac，得 a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，a2b2a2c2a4a2b2b2c2b40，即(a2b2)(c2a2b2)0.a2b2 或 c2a2b2，ab 或 c2a2b2.当ab时，ABC为等腰三角形；当c2a2b2时，ABC为直角三角形ABC为等腰三
7、角形或直角三角形解法2：由acosAbcosB以及正弦定理得2RsinAcosA2RsinBcosB，即sin2Asin2B.又A、B(0，)，2A、2B(0,2)，故有2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形变式训练3(2010辽宁卷)在ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解析：(1)由已知，根据正弦定理得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc.由余弦定理得 a2b2c22bccosA，故 cosA12，A120.(2)由(1)得
8、 sin2Asin2Bsin2CsinBsinC.又 sinBsinC1，得 sinBsinC12.因为 0B90，0C90，故 BC.所以ABC 是等腰的钝角三角形例4(数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为AB4.3 km，BC3.7 km，AC4.7 km，问该医院应建在何处？(精确到0.1 km或1)分析：实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的已知条件本题实际上是在ABC中，求ABC的外接圆的半径OB及OB与边BC的夹角解析：依
9、题意，O 是ABC 外接圆的圆心，设半径为 r km.cosBAB2BC2AC22ABBC4.323.724.7224.33.70.3171，ABC 为锐角三角形，sinB 1cos2B0.9484.由正弦定理知，AC2rsinB，r AC2sinB2.5(km)由余弦定理知，cosOBCr2BC2r22rBC0.74，OBC42.故医院应建在ABC 的内部的点 O 处，使 OB 约为 2.5 km，且OBC 约为 42.变式训练 4 如图，甲船在 A 处发现了乙船在北偏东45与 A 的距离为 10 海里的 C 处，正以 20 海里/时的速度向南偏东 75的方向航行，已知甲船速度是 20 3海里/时问：甲船沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？解析：设 t 小时后相遇，则 BC、AB 的长分别为 20t与 20 3t.由图可知ACB120.由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，即(20 3t)2102(20t)221020t(12)，解得 t12或14(舍去)故 AB20 31210 3，BC201210.由正弦定理得ABsinACBBCsinBAC，即 sinBAC10 3210 3 12，BAC30，所求角为 304575.甲船应沿北偏东 75方向航行答：甲船应沿北偏东 75方向航行半小时后才能与乙船相遇