1、3.1.2 导数的概念 导数的概念 内容：利用导数的概念求导数 应用 求函数在某处的导数 求函数在某点附近的平均变化率 本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是采用情境探究的方法,将有关情境材料提供给学生,学生通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平均变化率概念的了解.然后在探究的基础上,组织学生研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、补充、研讨,使学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化率的重要性。在讲述平均变化率的应用
2、时，采用例题与思考与探究相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。平均变化率 )(xf一般的，函数 在区间上的平均变化率为,21 xx其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。复习：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系 h=-4.9t2+6.5t+10 hto求2时的瞬时速度？2我们先考察2附近的情况。任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当0时，在2之前；当0时，在2之后。0时20时22,22,2,.ttv 计算区间和区间内平均速
3、度 可以得到如下表格t0时,在2,2+t 这段时间内当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.001时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,0,2,22,13.1.tt 我们发现 当趋近于 时 即无论 从小于 的一边还是从大于 一边趋近于 时 平均速度都趋近于一个确定的值,|,2.,213.1/.tvttm s 从物理的角度看 时间间隔无限变小时 平
4、均速度 就无限趋近于时的瞬时速度因此 运动员在时的瞬时速度是.,.lim,11302113220定值趋近于确平均速度时趋势近于当表示我们用为了表述方便vttththt、函数的平均变化率怎么表示？000 x=xyf xxxfxy我们称它为函数 在 处的导数，记作：或定义:函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作或,即导数的作用：在问题2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；在问题1中，我们用的是平均膨胀率，那么 半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率.导数可以描绘任何事物的瞬时变化率由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处
5、的导数的 基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式,y也必须选择与之相对应的形式.一差、二商、三极限 例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.求函数在某处的导数例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(1)(1)ffxy 解：23(1)3x263()xx26)(3xxxxy63 x00(1)limlim(63)6xxyxfx例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1
6、附近的平均变化率，并求出在该点处的导数(11)()yffx 解：22(1)(1)(1)()1xx 2()3xx 2(3)yxxxx平均变化率3x 00(1)lim lim(3)3xxxxyf例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.(3)(3)sftf解：22(3)3(33)t 2()6tt2()6stttt6t00(3)limlim(6)6ttsftt1(1)2|2).xfy（或表示成233(2)|.44xfy（或表示成）(1)求函数y=x2在x=1处的导数;1yxx(2)求函数 在x=2处的导数.000:,|1,.2x xyxxxyx已知函数在处附近有定义 且求例的
7、值200:,解yxxx .1)()(0000000000 xxxxxxxxxxxxxxxxxxy,211limlim00000 xxxxxyxx.1,2121,21|000 xxyxx得由0000(2)()lim1,()hf xhf xhfx0设f(x)在x=x 附近有定义，且求的值。01:()2fx 答案,根据导数的定义 xfxfxy22.6f和 26,2hhf解：在第和第时 原油温度的瞬时变化率就是xxx152721527222,3742xxxxx,33limlim2,00 xxyfxx所以.56 f同理可得0026,35.2,3/;6,5/.hhhC hhC h在第与第时 原油温度的瞬时
8、变化率分别为与它说明：在第附近 原油温度大约以的速率下降在附近 原油温度大约以的速率上升00,.fxx一般地反映了原油温度在时刻 附近的变化情况计算第3（h）和第5（h）时，原油温度的瞬时 变化率，并说明它们的意义。这说明:在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。1.求物体运动的瞬时速度：(1)求位移增量 s=s(t+t)-s(t)(2)求平均速度(3)求极限;svt 00()().limlimxxss tts ttt 2.由导数的定义可得求导数的一般步骤：(1)求函数的增量 y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率(3)求极限 yx00()limxyfxx 必做题:1.如果质点 A按照规律23st运动,则在3t 时的瞬时速度为 .2.函数1yxx在1x 处的导数等于 .3.设函数()f x3ax,若(1)3f,则 a .18031(1)3 f 8cm/s(1)2f 选做题:1.设函数()f x 可导,则0(1)(1)lim3xfxfx .2.质点 M 按规律223st 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点 M 在2t 时的瞬时速度,并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较.3.设函数()f x 可导,且满足条件0(1)(1)lim12xffxx ,求(1)f