1、第一章:解三角形 1.问题的引入:.(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样测出来的呢？(2)设A,B两点在河的两岸,只给你米尺和量角设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?AB我们这一节所学习的内容就是解决这些问题的有力工具.回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1C sinsinsinabcABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导1.1.1 正弦定理sinbcB(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB
2、上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有 sinsinsinabcABC1.1.1 正弦定理sin,sinCDaB CDbAsinsinaBbA所以 sinsinabAB得到 BACabcE(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?ABCBACbca1.1.1 正弦定理D（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点 正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:CcBbAasinsinsin在锐角三角形中.的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与
3、ABjCBjACjC90A9090由向量加法的三角形法则ABCBACABjCBjACjABjCBACjj得的数量积两边同取与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj定义）（根据向量的数量积的CcAaAcCasinsinsinsin即在锐角三角形中，可得垂直于点作过同理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin也有jBACabc，于垂直作单位向量证明：过点ACjA在钝角三角形中ABCj的夹角为与的夹角为与则垂直的单位向量作与过点设CBjABjjACAA,90090AC90剖析定理、加深理解sinsinsinabcABC1、A+B+C=2、大角对大边，大边
4、对大角 正弦定理：剖析定理、加深理解3、正弦定理可以解决三角形中的问题：已知两角和一边，求其他角和边 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形 sinsinsinabcABC正弦定理：剖析定理、加深理解5、正弦定理的变形形式 6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化 sinsinsinabcABC正弦定理：例1 在已知,解三角形.ABC0030,135,
5、2ABa通过例题你发现了什么一般性结论吗?小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。1.1.1 正弦定理3.定理的应用举例变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？例 2 已知a=16，b=，A=30.解三角形已知两边和其中一边的对角,求其他边和角解：由正弦定理BbAasinsin得231630sin316sinsinaAbB所以60,或120 当时60 C=90.32cC=30.16sinsinACac316当120时 B16300ABC163168 3变式:a=30,b=26,A=30，解三角形300ABC2630解：由正弦定理BbAasinsin得301
6、33030sin26sinsinaAbB所以25.70,或180025.70=154.30 由于154.30+3001800 故B只有一解（如图）C=124.30,57.49sinsinACac30137.25sin小结:已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。4.基础练习题1.1.1 正弦定理00(1)45,2,2,10 3(2)60,4,3ABCAabBABCAabB在中，已知 求在中，已知求B=300无解5.探究课题引入时问题(2)的解决方法ABCbc1.1.1 正弦定理bsinAB=sin(+)正弦定理 主要应用 sinsinsinabcABC(1)已知两角及任意一边，
7、可以求出其他两边和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）1.1.1 正弦定理小结:课后探究:sinsinsinabckABC那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有关的量来表示吗?作业：P10 2（1）你还可以用其它方法证明正弦定理吗？（2）在例 2 中，将已知条件改为以下几种情况，不计算判断有几组解？60 ABCb（3）b20，A60，a15.（1）b20，A60，a ;320（2）b20，A60，a ;310（3）b20，A60，a15.60 20AC（1）b20，A60，a ;32060 203A20BC（2）b20，A60，a ;310BC60 A20一解一解无解900 A90AabsinAa=bsinA bsinAab无解一解两解一解无解一解AC条件图形解的个数总结ACBB CA A C D B2 B1 C A D A B C D