1、2.1函数及其表示1函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA (2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集 (3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法2映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应
2、关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射 3函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法4常见函数定义域的求法(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)yax (a0且a1)，ysin x，ycos x，定义域均为R.(5)ytan x的定义域为.(6)函数f(x)x的定义域为x|xR且x01判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x)与g(x)x是同一个函数()(2)若两个函数的定义域与值域相
3、同，则这两个函数相等()(3)若函数f(x)的定义域为x|1x3，则函数f(2x1)的定义域为x|1x5()(4)f(x)，则f(x).()(5)函数f(x)1的值域是y|y1()(6)函数是特殊的映射()2(2013江西)函数yln(1x)的定义域为()A(0,1) B0,1) C(0,1 D0,1答案B解析由得，函数定义域为0,1)3(2012安徽)下列函数中，不满足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x1 Df(x)x答案C解析将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等对于A，f(2x)|2x|2|x|2f(x)；对于B，f(2x)2x|2x|2(
4、x|x|)2f(x)；对于C，f(2x)2x12f(x)；对于D，f(2x)2x2f(x)，故只有C不满足f(2x)2f(x)，所以选C.4(2012福建)设f(x)g(x)则f(g()的值为()A1 B0 C1 D答案B解析根据题设条件，是无理数，g()0，f(g()f(0)0.5给出四个命题：函数是其定义域到值域的映射；f(x)是函数；函数y2x (xN)的图象是一条直线；函数的定义域和值域一定是无限集合 其中正确命题的序号有_答案解析对于函数是映射，但映射不一定是函数；对于f(x)是定义域为2，值域为0的函数；对于函数y2x (xN)的图象不是一条直线；对于由于函数的关系可以用列表的方法
5、表示，有些用列表法表示的函数的定义域和值域都不是无限集合.题型一函数的概念例1有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则f0.其中正确判断的序号是_思维启迪可从函数的定义、定义域和值域等方面对所给结论进行逐一分析判断答案解析对于，由于函数f(x)的定义域为x|xR且x0，而函数g(x)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x1不是yf(x)定义域内的值，则直线x1与yf(x)的图象没有交点，如果x1是yf(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x1与yf(x)的图
6、象只有一个交点，即yf(x)的图象与直线x1最多有一个交点；对于，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于，由于f0，所以ff(0)1.综上可知，正确的判断是.思维升华函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同) (1)下列四个图象中，是函数图象的是()A(1) B(1)(3)(4)C(1)(2)(3) D(3)(4)(2)下列各组函数中
7、，表示同一函数的是()Af(x)|x|，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)，g(x)答案(1)B(2)A解析(1)由一个变量x仅有一个f(x)与之对应，得(2)不是函数图象故选B.(2)A中，g(x)|x|，f(x)g(x)B中，f(x)|x|(xR)，g(x)x (x0)，两函数的定义域不同C中，f(x)x1 (x1)，g(x)x1(xR)，两函数的定义域不同D中，f(x)(x10且x10)，f(x)的定义域为x|x1；g(x)(x210)，g(x)的定义域为x|x1或x1两函数的定义域不同故选A.题型二求函数的解析式例2(1)如果f()，则当x0且x1时，
8、f(x)等于()A. B. C. D.1(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.(3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f()1，则f(x)_.思维启迪(1)令t，反解出x，代入f()，求f(t)的表达式(2)设f(x)axb(a0)，结合条件列出关于x的方程求参数a，b.(3)用代替x，通过解方程组求f(x)答案(1)B(2)2x7(3)解析(1)令t，得x，f(t)，f(x).(2)设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2bax5ab，即ax5ab2x17不论x为何值都成立，解得f(x)2x7.
9、(3)在f(x)2f()1中，用代替x，得f()2f(x)1，将f()1代入f(x)2f()1中，可求得f(x).思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (4)消去法：已知关于f(x)与f或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) (1)已知f(x)x2，求f(x)的解析式
10、(2)已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)的解析式解(1)f(x)x2(x)22，且x2或x2, f(x)x22(x2或x2)(2)2f(x)f()3x，把中的x换成，得2f()f(x).2得3f(x)6x，f(x)2x(x0)题型三求函数的定义域例3(1)函数f(x)的定义域为()A(1,2) B(1,0)(0,2)C(1,0) D(0,2)(2)已知函数f(x)的定义域为1,2，则函数g(x)的定义域为_思维启迪函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；抽象函数的定义域要注意自变量的取值和各个字母的位置 答案(1)C(2)，1)解析(1)f(x)有意义，则解之得1x0，f
11、(x)的定义域为(1,0)(2)要使函数g(x)有意义，则必须有，x1，故函数g(x)的定义域为，1)思维升华(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集 (2)已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足ag(x)b的x的取值范围，而已知fg(x)的定义域是a，b，指的是xa，b (1)已知函数f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是_ (2)函数y的定义域为_答案(1)，(2)(1,1)解析(1)因为函数f(x)的定义域是0,2，所以函数g(x)f(x)f(x)中的自变量x需要满足解得：
12、x，所以函数g(x)的定义域是，(2)由，得1x0和a0进行讨论，确定f(a)(2)可以根据给定函数f(x)和M确定fM(x)，再求fM(0)答案(1)A(2)B解析(1)由题意知f(1)212.f(a)f(1)0，f(a)20.当a0时，f(a)2a,2a20无解；当a0时，f(a)a1，a120，a3.(2)由题设f(x)2x21，得当x1或x1时，fM(x)2x2；当1x1的解集为()A(，1)(1，) B1，)(0,1C(，0)(1，) D1，(0,1)答案B解析当1x0时，01化为2x21，解得x，则1x.当0x1时，1x1化为2x21，解得x，则0x1.故所求不等式的解集为1，)(
13、0,1分段函数意义理解不清致误典例：(5分)已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_ 易错分析本题易出现的错误主要有两个方面：(1)误以为1a1，没有对a进行讨论直接代入求解(2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误解析当a0时，1a1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合题意；当a1,1a1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得a.答案温馨提醒(1)分类讨论思想在求函数值中的应用：对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解 (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意
14、，因此要检验结果是否符合要求.方法与技巧1在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同2定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行3函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法4分段函数问题要分段求解失误与防范求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.A组专项基础训练一、选择题1函数f(x)的定义域为()A2,0)(0,2 B(1,0)(0,2C2,2 D(1,2
15、答案B解析由，得10，所以f()log2x，则f(x)log2log2x.5某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()Ay ByCy Dy答案B解析方法一取特殊值法，若x56，则y5，排除C，D；若x57，则y6，排除A，选B.方法二设x10m(09，m，N)，当06时，mm，当69时，mm11，所以选B.二、填空题6下表表示y是x的函数，则函数的值域是_.x0x55x1010x1515x20y2345答案2,3,4,5解析函数
16、值只有四个数2、3、4、5，故值域为2,3,4,57已知f(x)x2，则f(3)_.答案11解析f(x)x2(x)22，f(x)x22(x0)，f(3)32211.8若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_答案1,0解析由题意知2x22axa10恒成立x22axa0恒成立，4a24a0，1a0.三、解答题9已知f(x)是二次函数，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1.求函数f(x)的解析式解设f(x)ax2bxc (a0)，又f(0)0，c0，即f(x)ax2bx.又f(x1)f(x)x1.a(x1)2b(x1)ax2bxx1.(2ab)xab(b1)x1，解得.f(x)x2x.10某
17、人开汽车沿一条直线以60 km/h的速度从A地到150 km远处的B地在B地停留1 h后，再以50 km/h的速度返回A地，把汽车与A地的距离x(km)表示为时间t(h)(从A地出发开始)的函数，并画出函数的图象 解x.图象如右图所示B组专项能力提升1已知a，b为两个不相等的实数，集合Ma24a，1，Nb24b1，2，f：xx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则ab等于()A1 B2 C3 D4答案D解析由已知可得MN，故所以a，b是方程x24x20的两根，故ab4.2设函数f(x)，则不等式f(x)f(1)的解集是()A(3，1)(3，)B(3，1)(2，)C(3，)D(，3)(1,3
18、)答案A解析f(1)3，f(x)3，当x0时，x24x60时，x60，又f(f(x)依据yf(f(x)的大致图象(如右图所示)，知存在实数k，使得方程f(f(x)k0恰有1个实根或恰有2个不相等的实根； 不存在实数k，使得方程恰有3个不相等的实根或恰有4个不相等的实根4.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫 作刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)满足下列关系：ymxn(m，n是常数)如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米/时)的关系图 (1)求出y关于x的函数表达式；(2)如果要求刹车距
19、离不超过25.2米，求行驶的最大速度解(1)由题意及函数图象，得，解得m，n0，所以y(x0)(2)令25.2，得72x70.x0，0x70.故行驶的最大速度是70千米/时5运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50x100)(单位：千米/小时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)行车所用时间为t(h)，y2(2)，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是yx，x50,100(2)yx26，当且仅当x，即x18时，上述不等式中等号成立故当x18时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元