1、吉林省吉林市舒兰市第一高级中学校2020-2021学年高二数学上学期第一次月考试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。第卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.椭圆的离心率为 （ ）A. B.C.D.2.已知椭圆的离心率为,点在上,则椭圆的短轴长为（ ）A.1 B.C.2 D.3.已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,交轴于点,若是线段的三等分点,则椭圆的离心率为 （ ）A. B.C.D.4.已知双曲线的中心在坐标原点,一
2、个焦点为,点P在双曲线上,且线段的中点坐标为,则此双曲线的方程是 （ ）A. B. C. D.5.已知是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若,则C的离心率为（ ）A. B. C. D.6.设分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任一点,点的坐标为,则的最大值为 （ ）A.13B.14 C.15 D.167.设是椭圆的两焦点，P为椭圆上的点，若，则的面积为（ ） A.8 B. C.4 D.8.已知方程表示双曲线,且双曲线两焦点间的距离为4,则的取值范围是（ ）A. B. C. D.9.已知椭圆，过点的直线交椭圆C所得的弦的中点坐标为，则该椭圆的离心率为 （ ）A. B. C. D. 10.椭圆上的点到
3、直线距离最近的点的坐标为 （ ）A. B. C. D. 11.已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为分别是的左、右焦点，且的面积为，点为上的任意一点，则的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 12.已知双曲线的左、右顶点分别为,点为双曲线的左焦点,过点作垂直于轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线于两点,连接交轴于点,连接交于点,若,则双曲线的离心率为 （ ）A.3 B. 4 C. 5 D. 6第II卷 非选择题部分（选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知椭圆的两个焦点分别为，斜率不为0的直线过点，且交椭圆于两点，则的周长为_.14.椭圆的左、右焦
4、点分别是,点是椭圆上一点,直线交椭圆于另一点,且,则椭圆的离心率是_.15.若点和点分别为椭圆的中心点和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为_.16.已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，且在第一象限，点是点关于原点对称的点.当时，椭圆C的离心率的取值范围是_.三、解答题（本大题共6小题，共70分)17.(本题10分)已知椭圆的中心在坐标原点,长轴长为,离心率,过右焦点的直线交椭圆于两点: （1）求椭圆的方程; （2）当直线的斜率为1时,求的面积.18.(本题12分)已知两定点,点是曲线上任意一点,且满足条件. （1）求曲线的轨迹方程; （2）若直线与曲线交于两点,求的范围. 19
5、.(本题12分)已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点 （1）求双曲线的方程； （2）过双曲线右焦点作倾斜角为的直线交双曲线于两点，求 20.(本题12分) 已知椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点, 为坐标原点. （1）若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率; （2）若,证明直线的斜率满足. 21.(本题12分)椭圆经过点（1）求椭圆的方程;（2）经过点的直线与椭圆交于不同两点 (均异于点),则直线与的斜率之和是否为定值？如果是请求出该定值，如果不是请说明理由.22.(本题12分)椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点. 的最大值是，的最小值是，满足. （1）求该椭圆的离心
6、率； （2）设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围. 数学答案一、选择题1.答案:A 解析:即,故,故,所以.2.答案：C解析：因为,所以,所以,选C3.答案：D解析：由已知可知，点的坐标为，易知点坐标， 将其代入椭圆方程得，所以离心率为，故选D.4.答案：B解析：由双曲线的焦点可知,线段的中点坐标为,所以.设右焦点为,则有,且轴,点P在双曲线的右支上,所以,所以,所以,所以双曲线的方程为,故选B.5.答案：D解析：由题设知,所以.由椭圆的定义得,即,所以,故椭圆C的离心率.6.答案：C 7.答案：C解析：由椭圆,可知,可得,即，设，由
7、椭圆的定义可知：，,得，由勾股定理可知：，则解得：，.的面积.8.答案：A双曲线的焦点在x轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以n的取值范围是， 9.答案：B10.答案：B11.答案：D解析：由已知的，故.的面积为，.又，.又,.的取值范围为.12.答案：C 解析：根据题意,作出如图所示的双曲线的草图,由题意得,将代入双曲线的方程,可得,则.由,得,则有,则,而,则有,即,所以,则,故双曲线的离心率为5.二、填空题13.解析：由题意得，周长：14.答案：解析：设,由,得,由,得,所以,又,即,化简得,即,根据,得,又,所以,所以椭圆的离心率.15.解析：点为椭圆上的任意一点，设
8、，依题意得左焦点，.，即.故的最小值为6.16.解析：点P与点Q关于原点对称，且四边形是矩形，为直角三角形（为直角）.设，则， ， .点P在第一象限，.三、解答题17.解析： 试题分析:()由已知,椭圆方程可设为 长轴长为 , 心率 , ,所求椭圆方程为: . ()因为直线 过椭圆右焦点 ,且斜率为 ,所以直线 的方程为 .设 ,由 得 ,解得 . . 18答案： 解:由双曲线的定义可知, 曲线E是以 , 为焦点的双曲线的左支, 且 ,a=1, b= =1 故曲线E的方程为:x 2y 2=1(x0 )设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 由题意建立方程组 消去y, 得(1k 2)x
9、2+2kx2=0 已知直线与双曲线左支交于两点A,B, 有 解得: 19.解析：试题解析：(1)设双曲线方程为： ，点 代入得： ， 所以所求双曲线方程为 （2）直线 的方程为： ， 由 得：， 20.解析： (1)解:设点P的坐标为 .由题意,有 由 ,得 , 由 ,可得 ,代入并整理得 由于 ,故 .于是 ,所以椭圆的离心率 (2)证明:(方法一) 依题意,直线OP的方程为 ,设点P的坐标为 . 由条件得 消去 并整理得 由 , 及 , 得 . 整理得 .而 ,于是 ,代入, 整理得 由 ,故 ,因此 . 所以 . (方法二) 依题意,直线OP的方程为 ,设点P的坐标为 . 由P在椭圆上,有 因为 , ,所以 ,即 由 , ,得 整理得 . 于是 ,代入, 整理得 解得 , 所以 . 21.答案：（1）由题意知,综合,解得,所以,椭圆的方程为.（2）由题设知,直线 的方程为,代入,得 ,由已知,设,则,从而直线与的斜率之和 .22. 试题解析：(1) 设 ，则根据椭圆性质得 而 ，所以有 ， 即 ， ，因此椭圆的离心率为 . (2) 由(1)可知 ， ，椭圆的方程为 . 根据条件直线 的斜率一定存在且不为零，设直线 的方程为 ， 并设 则由 消去 并整理得 从而有 ，. 因为 ，所以 ， . 由 与 相似，所以 .