1、高考导航 1.概率与统计是高考中相对独立的一块内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量.该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计算.其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具.统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征；3.离散型随机变量的分布列及其期望的考查是历来高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性.热点一 常见概率模型的概率 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率
2、是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式.【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、
3、乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量的分布列.解 依题意，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这 4 个人中恰有 i 人去参加甲游戏”为事件 Ai(i0，1，2，3，4).则 P(Ai)Ci413i234i.(1)这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率P(A2)C24132232 827.(2)设“这4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 BA3A4，且 A3 与 A4 互斥，P(B)P(A3A4)P(A3)P(A4)C3413323C4413419.(3)依题设，的所有可能取值为 0，2，4.且 A1 与 A3 互斥
4、，A0 与 A4 互斥.则 P(0)P(A2)827，P(2)P(A1A3)P(A1)P(A3)C14131233C34133234081，P(4)P(A0A4)P(A0)P(A4)C04234C441341781.所以 的分布列是024 P82740811781 探究提高(1)本题 4 个人中参加甲游戏的人数服从二项分布，由独立重复试验，4 人中恰有 i 人参加甲游戏的概率 PCi413i234i，这是本题求解的关键.(2)解题中常见的错误是不能分清事件间的关系，选错概率模型，特别是在第(3)问中，不能把 0，2，4 的事件转化为相应的互斥事件 Ai 的概率和.【训练 1】(2017石家庄调
5、研)甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出 3 人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错或不答都得 0 分，已知甲队 3 人每人答对的概率分别为34，23，12，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示甲队总得分.(1)求 2 的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为 4 的条件下，甲队比乙队得分高的概率.解(1)2，则甲队有两人答对，一人答错，故 P(2)3423112 34123 12134 23121124；(2)设甲队和乙队得分之和为 4 为事件 A，甲队比乙队得分高为事件 B.设乙队得分为，则 B3，23.P(1)341
6、23 112 134 23112 134 1231214，P(3)34231214，P(1)C132313229，P(2)C232321349，P(3)C33233 827，P(A)P(1)P(3)P(2)P(2)P(3)P(1)14 827112449142913，P(AB)P(3)P(1)1429 118，所求概率为 P(B|A)P（AB）P（A）1181316.热点二 离散型随机变量的分布列、均值与方差(规范解答)离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是数学高考的一大热点，每年均有解答题的考查，属于中档题.复习中应强化应用题目的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列
7、和求均值与方差的关键，对概率模型的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中强化解答题的规范性训练.【例 2】(满分 12 分)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立.(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数，求 X 的分布列和均值(数学期望).满分解答 解 用 A 表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”，Ak 表示“第 k 局甲获胜”，Bk 表示“第 k 局乙获胜”，则 P(Ak)23
8、，P(Bk)13，k1，2，3，4，5.2 分(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)2321323223132325681.5 分(2)X 的可能取值为 2，3，4，5.6 分P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)59，7 分P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)29，8 分P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P
9、(B1)P(A2)P(B3)P(B4)1081，9 分P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4)881.10 分故 X 的分布列为X2345 P59291081881E(X)259329410815 88122481.12 分11分得步骤分：这是得分点的步骤，有则给分，无则没分，步步为“赢”，求得满分.如第(1)问，引进字母表示事件，用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成AA1A2B1A2A3A1B2A3A4，就得2分，计算概率值正确，得1分.第(2)问求出X的四个值的概率，每对一个得1分；列出随机变量X的分布列得1分.得关键分：解题过程的关键点，有则给分，无则没分.如第(1)问，写出事件“甲在
10、4局以内(含4局)赢得比赛”分解为“甲在第1，2局连胜”“甲在第1局输，第2，3局连胜”“甲在第1局胜，第2局输，第3，4局连胜”，正确得2分.第(2)问，求四个概率时，结果错误，即使计算过程有步骤也不得分.得计算分：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证.如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分.求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：反思回顾.查看关键点、易错点
11、和答题规范.【训练2】(2017郑州调研)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元.求：顾客所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值
12、给出一个合适的设计，并说明理由.解(1)设顾客所获的奖励额为 X.依题意，得 P(X60)C11C13C24 12，即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为12.依题意，得 X 的所有可能取值为 20，60.P(X60)12，P(X20)C23C2412，即 X 的分布列为X2060 P1212所以顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)2012601240(元).(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元.所以，先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，
13、50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为 X12060100 P162316X1 的数学期望为 E(X1)201660231001660(元)，X1 的方差为 D(X1)(2060)216(6060)223(10060)21
14、61 6003.对于方案 2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则 X2 的分布列为X2406080 P162316X2 的数学期望为 E(X2)40166023801660(元)，X2 的方差为 D(X2)(4060)216(6060)223(8060)2164003.由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.热点三 概率与统计的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，
15、把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及数学均值与方差的运算.【例3】(2017西安模拟)2018年6月14日至7月15日，第21届世界杯足球赛将于俄罗斯举行，某大学为世界杯组委会招收志愿者，被招收的志愿者需参加笔试和面试，把参加笔试的40名大学生的成绩分组：第1组75，80)，第2组80，85)，第3组85，90)，第4组90，95)，第5组95，100，得到的频率分布直方图如图所示：(1)分别求出成绩在第3，4，5组的人数；(2)现决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6人进行面试.已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲或乙进入面试的概率
16、；若从这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图知：第3组的人数为50.064012.第4组的人数为50.04408.第5组的人数为50.02404.(2)利用分层抽样，在第 3 组，第 4 组，第 5 组中分别抽取 3人，2 人，1 人.设“甲或乙进入第二轮面试”为事件 A，则P(A)1C310C312 511，所以甲或乙进入第二轮面试的概率为 511.X 的所有可能取值为 0，1，2，P(X0)C24C2625，P(X1)C12C14C26 815，P(X2)C22C26 115.所以 X 的分布列为X0
17、12 P25815115E(X)0251 8152 115101523.探究提高 本题将传统的频率分布直方图与分布列、数学期望相结合，立意新颖、构思巧妙.求解离散型随机变量的期望与频率分布直方图交汇题的“两步曲”：一是看图说话，即看懂频率分布直方图中每一个小矩形面积表示这一组的频率；二是活用公式，本题中X服从超几何分布.【训练3】(2015全国卷)某公司为了解用户对某产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区：73 8
18、3 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.解(1)两地区用户满意度评分的茎叶
19、图如下 通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”，则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，CCB1CA1CB2CA2.P(C)P(CB1CA1CB2CA2)P(CB1CA1)P(CB2CA2)P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2).由所给数据得
20、 CA1，CA2，CB1，CB2 发生的频率分别为1620，420，1020，820，即 P(CA1)1620，P(CA2)420，P(CB1)1020，P(CB2)820，故 P(C)10201620 820 4200.48.热点四 统计与统计案例 能根据给出的线性回归方程系数公式求线性回归方程，了解独立性检验的基本思想、方法，在选择或填空题中常涉及频率分布直方图、茎叶图及样本的数字特征(如平均数、方差)的考查，解答题中也有所考查.【例 4】从某居民区随机抽取 10 个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位：千元)与月储蓄 yi(单位：千元)的数据资料，算得10i1xi80，10i1y
21、i20，10i1xiyi184，10i1x2i720.(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程ybxa；(2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄.附：线性回归方程 ybxa 中，b，ayb x，其中x，y为样本平均值.解(1)由题意知 n10，x1nni1xi80108，y1nni1yi20102，又 lxxni1x2in x2720108280，lxyni1xiyin x y184108224，由此得blxylxx24800.3，a ybx20.380.4，故所求线性回归方程为 y0.3x0.4.(2)由于
22、变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b0.30)，故 x 与 y之间是正相关.(3)将 x7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y0.370.41.7(千元).探究提高(1)分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数 r 来确定，r 的绝对值越接近于 1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于 0，表明两变量线性相关性越弱.(2)求线性回归方程的关键是正确运用 b，a 的公式进行准确的计算.【训练4】(2017郑州模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查.下面是
23、根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图.若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)根据已知条件完成下面22列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？非读书迷 读书迷 总计 男 15 女 45 总计 (2)将频率视为概率.现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书迷”的人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、期望E(X)和方差D(X).解(1)完成22列联表如下：非读书迷 读书迷 总计 男 40 15 55 女 20 25 45 总计 60 40 100 2100（40251520）2604055458.2496.635，故有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关.(2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为读书迷的概率 P25.由题意可知 XB3，25，P(Xi)Ci325i353i(i0，1，2，3).X 的分布列为X0123 P2712554125361258125均值 E(X)np32565，方差 D(X)np(1p)325125 1825.