1、高三总复习人教A 版 数学（理）第七节数学归纳法高三总复习人教A 版 数学（理）1.了解数学归纳法的原因，掌握用数学归纳法证明问题的基本步骤2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.高三总复习人教A 版 数学（理）1归纳法由一系列有限的特殊事例得出的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为归纳法和归纳法2数学归纳法设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题(或)成立；(2)在假设成立的前提下，推出也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立一般结论完全不完全P1P0PkPk1高三总复习人教A 版 数学（理）3数学归纳法证题的步骤(1)(归纳奠基)证明当n
2、取第一个值时，命题成立；(2)(归纳递推)假设(kn0，kN*)时命题成立，证明当时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立nn0nknk1高三总复习人教A 版 数学（理）1用数学归纳法证明3nn3(n3，nN)，第一步应验证()An1 Bn2Cn3Dn4答案：C高三总复习人教A 版 数学（理）2用数学归纳法证明12222n12n21(nN*)的过程中，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1B12C1222D122223解析：当n1时，左边有n2项，即有3项和，为1222.答案：C高三总复习人教A 版 数学（理）3设f(n)1n11n21nn，nN*，那么
3、f(n1)f(n)等于()A.12n1B.12n2C.12n112n2D.12n112n2高三总复习人教A 版 数学（理）解析：f(n)表示n项的和，则f(n1)1n11 1n121n1n1n1n1.f(n1)f(n)12n112n2 1n112n112n2.答案：D高三总复习人教A 版 数学（理）4用数学归纳法证明：“11213 12n11)”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_高三总复习人教A 版 数学（理）解析：由nk时，左边为1121312k1，当nk1时，左边11212k112k12k11，因为分母是连续的自然数且(2k11)2k122k2k2k，所以增加
4、了2k项答案：2k高三总复习人教A 版 数学（理）5在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列(Sn表示数列an的前n项和)，则S2，S3，S4分别为_；由此猜想Sn_.解析：由Sn，Sn1,2S1成等差数列，得2Sn1Sn2S1，S1a11，2Sn1Sn2.高三总复习人教A 版 数学（理）令n1，则2S2S12123，S232.同理，分别令n2，n3，可求得S374，S4158，由S1121120，S23222121，S37423122，S4158 24123，猜想Sn2n12n1.答案：32，74，158 2n12n1高三总复习人教A 版 数学（理）热点之一 数学归纳法的基本原
5、理数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.高三总复习人教A 版 数学（理）例1 下面给出了用数学归纳法证明：12 122 123 12n1 12n1 12n(nN*)的证明步骤，试分析证明过程是否正确？证明过程如下：(1)当n1时，左边 12，右边1 12 12，等式成立(2)假设nk时，等式成立，即12 122 123 12k112k112k，高三总复习人教A 版 数学
6、（理）那么nk1时，左边12 122 12312k 12k112112k11121 12k1右边这就是说nk1时等式也成立由(1)、(2)知等式对任何nN*都成立高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录 从形式上看，证明步骤完整，会认为是正确的，但实际证明过程是错误的错误原因在第(2)步，它是直接利用等比数列的求和公式求出了nk1时，左边式子的和，而没有利用“归纳假设”，这是用数学归纳法极易犯的错误，要引起足够的重视正确证法如下：(1)当n1时，左边12，右边11212，等式成立高三总复习人教A 版 数学（理）(2)假设nk时，等式成立，即12 122 123 12k112k112k那么nk1
7、时，左边12 122 123 12k112k 12k1112k 12k11 12k1右边nk1时等式也成立综述(1)(2)可知等式对任何nN*都成立高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN*)正确，再推n2k3正确B假设n2k1(kN*)正确，再推n2k1正确C假设nk(kN*)正确，再推nk1正确D假设nk(k1)正确，再推nk2正确解析：首先要注意n为奇数，其次还要使“nk”能取到1，故选B.答案：B高三总复习人教A 版 数学（理）热点之二 用数学归纳法证明有关问题用数学归纳法可以证明与
8、正整数有关的恒等式、不等式、整除性问题和几何问题等，应用数学归纳法要注意其基本步骤.高三总复习人教A 版 数学（理）例2 设f(n)112131n(nN*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)思路探究 按数学归纳法的步骤进行证明即可课堂记录(1)当n2时，左边f(1)1，右边21121 1，左边右边，等式成立高三总复习人教A 版 数学（理）(2)假设nk时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)1k1k高三总复习人教A 版 数学（理）(k1)f(k1
9、)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练用数学归纳法证明：1n211213 12n12n(nN*)证明：(1)当n1时，左式112，右式121，3211232，即命题成立高三总复习人教A 版 数学（理）(2)假设当nk(kN*)时命题成立，即1k21121312k12k，则当nk1时，1121312k12k112k212k2k1k22k12k2k1k12.高三总复习人教A 版 数学（理）又1121312k12k112k212k2ka2.a23，a59.da5a23933 2，a11.高三
10、总复习人教A 版 数学（理）Tn112bn，b123，当n2时，Tn1112bn1，bnTnTn1112bn(112bn1)，化简，得bn13bn1，bn是首项为23，公比为13的等比数列，即bn23(13)n1 23n，an2n1，bn 23n，高三总复习人教A 版 数学（理）(2)Sn12n12nn2，Sn1(n1)2以下比较 1bn与Sn1的大小：当n1时，1b132，S24，1b1S2.当n2时，1b292，S39，1b2S3.高三总复习人教A 版 数学（理）当n3时，1b3272，S416，则 1b3S5.猜想：n4时，1bnSn1.下面用数学归纳法证明：当n4时，已证假设当nk(k
11、N*，k4)时，1bkSk1，高三总复习人教A 版 数学（理）即3k2(k1)2，那么，nk1时，1bk13k12 33k23(k1)23k26k3(k24k4)2k22k1(k1)12S(k1)1，nk1时，1bnSn1也成立，高三总复习人教A 版 数学（理）由可知nN*，n4时，1bnSn1成立综上所述，当n1,2,3时，1bnSn1.高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练设数列an满足an1an2nan1，n1,2,3，(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2a12a113，由a23
12、，得a3a222a214，由a34，得a4a323a315，由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)高三总复习人教A 版 数学（理）(2)证明：用数学归纳法证明：当n1时，a1312，不等式成立假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.根据和，对于所有n1，都有ann2.高三总复习人教A 版 数学（理）通过分析近年的高考试题可以看出，不但考查用数学归纳法去证明现成的结论，还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中，一般是先根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项
13、数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式高三总复习人教A 版 数学（理）例4(2010全国)已知数列an中，a11，an1c1an.(1)设c52，bn1an2，求数列bn的通项公式；(2)求使不等式anan1a1得c2.高三总复习人教A 版 数学（理）用数学归纳法证明：当c2时，ana1，命题成立；()设当nk时，akc1akak1.故由()，()知当c2时，an2时，令c c242，由an 1anan1 1anc得an；当2c103 时，an103 时，3，且1anlog313时，an13.因此c103 不符合要求所以c的取值范围是(2
14、，103 高三总复习人教A 版 数学（理）1(2010江苏高考)已知ABC的三边长都是有理数(1)求证：cosA是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cosnA是有理数高三总复习人教A 版 数学（理）证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosAAB2AC2BC22ABAC是有理数(2)用数学归纳法证明cosnA和sinAsinnA都是有理数当n1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinAsinA1cos2A也是有理数假设当nk(k1)时，coskA和sinAsinkA都是有理数当nk1时，由高三总复习人教A 版 数学（理）cos(k1)AcosAcoskAsinAsinkA，sinAsin(k1)AsinA(sinAcoskAcosAsinkA)(sinAsinA)coskA(sinAsinkA)cosA，由和归纳假设，知cos(k1)A与sinAsin(k1)A都是有理数，即当nk1时，结论成立综合可知，对任意正整数n，cosnA是有理数高三总复习人教A 版 数学（理）