1、高三总复习人教A 版 数学（理）第五节 合情推理与演绎推理高三总复习人教A 版 数学（理）1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理3了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.高三总复习人教A 版 数学（理）1基本概念高三总复习人教A 版 数学（理）高三总复习人教A 版 数学（理）2合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理在大前提、小前提和推理
2、形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，而合情推理得到的结论不一定正确高三总复习人教A 版 数学（理）1“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”此推理方法是()A完全归纳推理 B归纳推理C类比推理D演绎推理解析：由特殊到一般的推理叫归纳推理答案：B高三总复习人教A 版 数学（理）2下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180B某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D在数列an中，a11，an12(an1 1an1)(n
3、2)，由此归纳出an的通项公式高三总复习人教A 版 数学（理）解析：两条直线平行，同旁内角互补大前提A与B是两条平行直线的同旁内角小前提AB180结论答案：A高三总复习人教A 版 数学（理）3 某 同 学 在 电 脑 上 打 下 了 一 串 黑 白 圆，如 图 所 示，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A白色 B黑色C白色可能性大D黑色可能性大解析：由图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为3657余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色答案：A高三总复习人教A 版 数学（理）4根据下图1中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n个
4、图中有_个点图1解析：图(1)中的点数为1，图(2)中的点数为221，图(3)中的点数为322，图(4)中的点数为423，图(5)中的点数为524.故第n个图中点数为n2(n1)n2n1.答案：n2n1高三总复习人教A 版 数学（理）5对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相 等”，在 立 体 几 何 中，类 比 上 述 命 题，可 以 得 到 命 题：“_”，这个类比命题的真假性是_解析：由类比推理可知答案：夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题高三总复习人教A 版 数学（理）热点之一 归纳推理1归纳推理的特点：(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越
5、了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的高三总复习人教A 版 数学（理）2归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同特征(2)从已知的相同特征中推出一个明确表述的规律注意：归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用高三总复习人教A 版 数学（理）例1 已知：f(x)x1x，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1fn1(x)(n1且nN*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_思路探究 由已知关系，计算f1(x)、f2(x)、f3(x)，猜想出fn(x)课堂记录 由f1(x)f
6、(x)和fn(x)fn1fn1(x)(n1且nN*)，得高三总复习人教A 版 数学（理）f2(x)f1f1(x)x1x1 x1xx12x，f3(x)f2f2(x)x12x1 2x12xx122x，由此猜想fn(x)x12n1x(nN*)答案 f3(x)x122x fn(x)x12n1x(nN*)高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练观察下列等式：11，123，1236，123410，1234515，131，13239，13233336，高三总复习人教A 版 数学（理）13233343100，1323334353225.可以推测：132333n3_(nN*，用含有n的代数式表示)解析：由第二列
7、等式右端分别是11,33,66,1010,1515，与第一列等式右端比较即可得出故填14n2(n1)2.答案：14n2(n1)2高三总复习人教A 版 数学（理）热点之二 类比推理1类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)2类比是科学研究最普遍的方法之一在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的高三
8、总复习人教A 版 数学（理）例2 在ABC中，ABAC，ADBC于点D，求证：1AD2 1AB2 1AC2.在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？思路探究 首先利用综合法证明结论正确，然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录 如右图所示，由射影定理得AD2BDDC，AB2BDBC，AC2BCDC，所以 1AD21BDDCBC2BDBCDCBCBC2AB2AC2.高三总复习人教A 版 数学（理）又BC2AB2AC2，所以 1AD2AB2AC2AB2AC2 1AB2 1AC2.所以 1AD2 1AB2 1AC2.猜想：四面体ABCD中
9、，若AB、AC、AD两两垂直，AE平面BCD，则 1AE2 1AB2 1AC2 1AD2.高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练先阅读下面的文字：“求11 1的值时，采用了如下的方法：令11 1x，则有x1x，两边同时平方，得1xx2，解得x 1 52(负值已舍去)”可以用类比的方法，求得1121112的值为_高三总复习人教A 版 数学（理）解析：由x11211121121x，得2x22x10，于是x1 32(负值已舍去)故填1 32.答案：1 32高三总复习人教A 版 数学（理）热点之三 演绎推理1演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式2演绎推理的主要形式，就是由大前提、小前
10、提推出结论的三段论推理，三段论推理常用的一种格式，可以用以下公式来表示：如果bc，ab，则ac.3演绎推理是一种必然性推理演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的错误的前提可能导致错误的结论高三总复习人教A 版 数学（理）例3 已知函数f(x)aax a(a0且a1)，(1)证明：函数yf(x)的图象关于点12，12 对称；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值思路探究 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数yf(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上小前提是f(x)aax a(a0且a1)的图象
11、关于点 12，12对称高三总复习人教A 版 数学（理）课堂记录(1)证明：函数f(x)的定义域为R，任取一点(x，y)，它关于点12，12 对称的点的坐标为(1x，1y)由已知得yaax a，则1y1aax aaxax a，f(1x)aa1x aaaax a高三总复习人教A 版 数学（理）aaxa aaxaxax a，1yf(1x)即函数yf(x)的图象关于点12，12 对称(2)解：由(1)有1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1,f(1)f(2)1，f(0)f(1)1，则f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.高三总复习人教A 版 数学（理）思维拓展
12、三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论高三总复习人教A 版 数学（理）即时训练下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处(1)求证：四边形的内角和等于360.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD90909090360，所以四边形的内角和为360.(2)已知 2和 3是无理数，试证：2 3也是无理数证
13、明：依题设2 和3 都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以 2 3必是无理数高三总复习人教A 版 数学（理）解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定(3)在RtABC中，C90，求证：a2b2c2.证明：acsinA，bccosA，a2b2c2sin2Ac2cos2Ac2(sin2Acos2A)c2.高三总复习人教A 版 数学（理）(3)本题的论题就是我们熟知的勾股定理，上述证明中用了“sin2Acos2A1”这个公式，按照现行中学教材
14、的系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证的命题的真实性作为证明的论据，犯了循环论证的错误高三总复习人教A 版 数学（理）从近年的高考试题来看，归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力；演绎推理大多数出现在解答题中，为中高档题目，在知识的交汇点处命题，考查学生分析问题、解决问题以及逻辑推理能力高三总复习人教A 版 数学（理）例4(2010陕西高考)观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_解析 1323(12)2,132333(
15、123)2，所以132333435363(123456)261622212.答案 132333435363212高三总复习人教A 版 数学（理）1(2009江苏高考)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为_解析：两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，它们的体积比为1：8.答案：1：8高三总复习人教A 版 数学（理）2(2009浙江高考)设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，T16T12 成等比数列解析：b1b2b3b4T4，T8T4 b5b6b7b8b1q4b2q4b3q4b4q4T4q16，T12T8 T8q16，T16T12T12q16，故T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列答案：T8T4 T12T8高三总复习人教A 版 数学（理）
