1、目标导航1进一步了解等差数列的项与序号间的关系2在理解、掌握等差数列的定义和通项公式的基础上，探索发现等差数列的性质(重点)3能够利用这些性质灵活解决一些实际问题(难点)1 新知识预习探究知识点 等差数列的性质 若数列an是公差为 d 的等差数列，则(1)当 d0 时，数列为常数列；当 d0 时，数列为递增数列；当d0 时，数列为递减数列(2)dana1n1 amakmk(m，n，kN*)(3)anam(nm)d(m，nN*)(4)若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq.(5)若mn2k，则 aman2ak(m，n，kN*)(6)若数列an是有穷等差数列，则与首末两项等距离的
2、两项之和都相等，且等于首末两项之和，即 a1ana2an1ai1ani(n，iN*)(7)数列anb(，b 是常数)是公差为 d 的等差数列(8)下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，akm，ak2m，(k，mN*)组成公差为 md 的等差数列【练习】已知等差数列an中，a2a46，则 a1a2a3a4a5()A30 B15C5 6D10 6解析：数列an为等差数列，a1a2a3a4a5(a1a5)(a2a4)a2a4252(a2a4)52615.答案：B2 新视点名师博客由等差数列的定义及通项公式易证明性质(1)(2)(3)(4)(6)(8)，下面证明其他两个证明性质(5)：ana1(n1
3、)d，ama1(m1)d，aka1(k1)d，aman2a1(mn2)d2a1(2k2)d2a12(k1)d2a1(k1)d2ak.证明性质(7)：ana1(n1)d，且，b 为常数，anba1(n1)db(a1b)(n1)d，an1ba1(n2)db(a1b)(n2)d(n2)，(anb)(an1b)d(n2)为常数，数列anb也是等差数列，公差为 d.微课：等差数列性质的应用3 新课堂互动探究考点一 等差数列性质的应用 例 1(1)已知an为等差数列，a3a4a5a6a7450，则 a2a8 的值为_(2)设数列an，bn都是等差数列，若 a1b17，a3b321，则 a5b5_.分析：利
4、用等差数列的性质求解解析：(1)法一：根据等差数列通项公式得 a3a4a5a6a7(a12d)(a13d)(a14d)(a15d)(a16d)5a120d450，a14d90.a2a82a8d2(a14d)180.法二：a3a4a5a6a7450，由等差数列的性质知：a3a7a4a62a5.5a5450.a590.a2a82a5180.(2)法一：设数列an，bn的公差分别为 d1，d2，因为 a3b3(a12d1)(b12d2)(a1b1)2(d1d2)72(d1d2)21，所以 d1d27，所以 a5b5(a3b3)2(d1d2)212735.法二：数列an，bn都是等差数列，数列anbn
5、也构成等差数列，2(a3b3)(a1b1)(a5b5)2217a5b5a5b535.答案：(1)180(2)35点评：(1)本例中两个小题法一用到了整体代入思想，法二用到了等差数列的性质(2)等差数列中，若 m，n，p，qN*且 mnpq，则 amanapaq；若 mn2k，m，n，kN*，则 aman2ak 是最常用的两条性质，用它们解决等差数列的有关问题，可以达到事半功倍的效果变式探究 1 已知等差数列an中，a2a6a101，求：(1)a4a8；(2)若 a3a6a9 127，求通项公式解：(1)解法一：根据等差数列性质得a2a10a4a82a6由 a2a6a101，得 3a61，解得
6、a613，a4a82a623.解法二：根据等差数列的通项公式，得a2a6a10(a1d)(a15d)(a19d)3a115d.由题意知，3a115d1，即 a15d13.a4a82a110d2(a15d)23.(2)由(1)知，a613.a3a9a2a102a623a3a919解得：a3a913，an13(nN*).考点二 等差数列设元的应用例 2已知单调递增的等差数列an的前三项之和为 21，前三项之积为 231，求数列an的通项公式解析：解法一：根据题意，设等差数列an的前三项分别为 a1，a1d，a12d，则a1a1da12d21，a1a1da12d231，即3a13d21，a1a1da
7、12d231，解得a13，d4或a111，d4.因为数列an为单调递增数列，因此a13，d4，从而等差数列an的通项公式为 an4n1.解法二：由于数列an为等差数列，因此可设前三项分别为 ad，a，ad，于是可得adaad21，adaad231，即3a21，aa2d2231，解得a7，d4或a7，d4.由于数列an为单调递增数列，因此a7，d4，从而 an4n1.变式探究 2 已知三个数依次成等差数列，它们的和为 18，它们的平方和为 116，求这三个数构成的等差数列解：解法一：设第一个数为 a1、公差为 d，由已知条件列方程组，得a1a1da12d18a21a1d2a12d2116，所以a
8、1d63a216a1d5d2116，解得a14d2或a18d2，所以三个数构成的等差数列为 4,6,8 或 8,6,4.解法二：设三个数依次为 ad，a，ad，由已知条件得(ad)a(ad)18，解得 a6，又知(ad)2a2(ad)2116，得 3a22d2116，解得 d2.当 d2 时，三个数构成的等差数列为 4,6,8.当 d2 时，三个数构成的等差数列为 8,6,4.考点三 等差数列的综合应用例 3数列an满足 a11，an1(n2n)an(n1,2，)，是常数(1)当 a21 时，求 及 a3 的值；(2)是否存在实数 使数列an为等差数列？若存在，求出 及数列an的通项公式；若不
9、存在，请说明理由解析：(1)由于 an1(n2n)an(n1,2，)，且 a11.所以当 a21 时，得12，故 3.从而 a3(2223)(1)3.(2)数列an不可能为等差数列，证明如下：由 a11，an1(n2n)an，得 a22，a3(6)(2)，a4(12)(6)(2)若存在，使an为等差数列，则 a3a2a2a1，即(5)(2)1，解得 3.于是 a2a112，a4a3(11)(6)(2)24.这与an为等差数列矛盾所以，不存在 使an是等差数列点评：(1)本题判断第(2)问时，采用了以特殊代替一般的思想，使本来复杂的运算变得简单起来，这也是解决这种问题时的一种技巧，请注意体会(2
10、)根据等差数列的定义可知，一个数列是否为等差数列，要看任意相邻两项的差是否为同一常数，要判断一个数列为等差数列，需证明 an1and(d 为常数)对 nN*恒成立，若要判断一个数列不是等差数列，只需举出一个反例即可(3)在解决存在性问题时，基本的思路是：先预设满足条件的值是存在的，然后根据条件验证确定存在；若这种值不存在，应先回答是不存在的，再举出反例即可变式探究 3 数列an满足 a11，an 1(n2n)an(n1,2,3，)，是常数(1)当 a21 时，求 及 a3 的值(2)数列an可能为等差数列吗？若可能，则求出它的通项公式；若不可能，则说明理由解：(1)因为 an1(n2n)an(
11、n1,2,3，)，且 a11，a21，所以12，解得 3.从而 a3(2223)(1)3.(2)数列an不可能为等差数列，理由如下：由 a11，an1(n2n)an，得：a22，a3(6)(2)，a4(12)(6)(2)若存在 使an为等差数列，则 a3a2a2a1，即(5)(2)1，解得 3.于是 a2a112，a4a3(11)(6)(2)24.这与an为等差数列矛盾，所以对任意，an都不可能是等差数列.考点四等差数列的实际应用例 4 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示甲调查表明：从第 1 年每个养鸡场出产1 万只鸡上升到第 6 年平均每个鸡场出
12、产 2 万只鸡乙调查表明：由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个甲乙请根据提供的信息求：(1)第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年是扩大了还是缩小了？请说明理由(3)哪一年的规模最大？请说明理由分析：首先认真阅读题目中给出的条件，寻找有用的信息，然后根据给出的数据和图象建立等差数列模型进行求解，得出结论解析：由题干中的图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为an，公差为 d1，且 a11，a62；从第 1年到第 6 年的养鸡场个数也成等差数列，记为bn，公差为 d2，且 b130，b610.从
13、第 1 年到第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列cn，则 cnanbn.(1)由 a11，a62，得a11，a15d12，a11，d10.2，a21.2.由 b130，b610，得b130，b15d210，b130，d24，b226.c2a2b21.22631.2.(2)c6a6b621020c1a1b130，到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年缩小了(3)an1(n1)0.20.2n0.8，bn30(n1)(4)4n34(1n6)，cnanbn(0.2n0.8)(4n34)0.8n23.6n27.2(1n6)对称轴为 n94，当 n2 时，cn 最大答：(1)第 2 年养鸡场的个数为 26
14、 个，全县出产鸡的总只数是 31.2万只；(2)到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年缩小了；(3)第 2 年的规模最大点评：(1)本题利用了构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征(2)在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决若这组数依次成直线上升或递减，则可考虑利用等差数列方法解决在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题变式探究 4 有一正四棱台形楼顶，其中一个侧面中最上面一行辅瓦 30 块，总共需要铺瓦 15 行，并且下一行比其上一行多铺 3 块瓦，求该侧面最下面一行铺瓦多少块？解：设从上面开始第 n 行铺瓦 an 块，则数
15、列an是首项为 30，公差为 3 的等差数列则 a15a114d3014372(块)，即该侧面最下面一行铺瓦 72 块.4新思维随堂自测1已知an为等差数列，a2a812，则 a5 等于()A4 B5C6 D7解析：由等差数列性质得 a2a82a512，所以 a56.答案：C2在等差数列an中，已知 a4a816，则 a2a10()A12 B16C20 D24解析：根据等差数列的性质求解a2a10a4a816.答案：B3设数列an，bn都是等差数列，且 a125，b175，a2b2100，那么由 anbn 所组成的数列的第 37 项为()A0 B37C100 D37解析：设 cnanbn，则c
16、n为等差数列又 c1a1b12575100，c2a2b2100，则 dc2c10，故 cn100(nN*)，从而c37100.故选 C.答案：C4已知数列an满足 a11，若点ann，an1n1 在直线 xy10上，则 an_.解析：由题设可得ann an1n110，即 an1n1ann 1，所以数列ann 是以 1 为公差的等差数列，且首项为 1，故通项公式ann n，所以 ann2.答案：n25已知等差数列an中，a1a4a715，a2a4a645，求此数列的通项公式解：a1a72a4，a1a4a73a415.a45.又a2a4a645，a2a69，即(a42d)(a42d)9，亦即(52
17、d)(52d)9，解得 d2.若 d2，ana4(n4)d2n3；若 d2，ana4(n4)d132n.5 辨错解走出误区易错点：不理解等差数列的概念和性质导致错误(1)不理解等差数列的定义，要说明一个数列为等差数列，必须从第 2 项起所有项与其前一项的差为同一常数，即 anan1d(n2)恒成立，不能只验证有限个相邻两项之差相等；(2)对等差数列的性质死记硬背，不理解，弄混结论成立的条件，导致错误【典例】设数列an是等差数列，apq，aqp(pq)，试求 apq.【错解】数列an是等差数列，apqapaqpq.【错因分析】等差数列的性质中“若 mnpq，则 amanapaq(m，n，p，qN*)；若 mn2p，则 aman2ap”是由下标所具有的关系推出对应数列中项所具有的关系，而不能将下标直接拆开得 apqapaq，应从等差数列通项公式入手求出公差，再求 apq.【正解】设其公差为 d，则 apaq(pq)d，dapaqpq qppq1，apqapqdqq(1)0，apq0.